Будь ласка, допоможіть. Я не впевнений, як це зробити швидко, не розмножившись?

Відповідь:

Відповідь на (i) є #240#.

Відповідь на (ii) є #200#.

Пояснення:

Ми можемо зробити це за допомогою Трикутника Паскаля, показаного нижче.

(i)

Так як показник є #6#, ми повинні використовувати шостий рядок у трикутнику, який включає #color (фіолетовий) (1, 6, 15, 20, 15, 6) # і #color (purple) 1 #. В основному, ми будемо використовувати #color (blue) 1 # як перший термін і #color (червоний) (2x) # як другий. Тоді ми можемо створити наступне рівняння. Показник першого терміну збільшується на #1# кожен раз і показник другого терміну зменшується на #1# з кожним терміном з трикутника.

# (колір (фіолетовий) 1 * колір (синій) (1 ^ 0) * колір (червоний) ((2x) ^ 6)) + (колір (фіолетовий) 6 * колір (синій) (1 ^ 1) * колір (червоний) ((2x) ^ 5)) + (колір (фіолетовий) 15 * колір (синій) (1 ^ 2) * колір (червоний) ((2x) ^ 4)) + (колір (фіолетовий) колір 20 * (синій) (1 ^ 3) * колір (червоний) ((2x) ^ 3)) + (колір (фіолетовий) 15 * колір (синій) (1 ^ 4) * колір (червоний) ((2x) ^ 2)) + (колір (фіолетовий) 6 * колір (синій) (1 ^ 5) * колір (червоний) ((2x) ^ 1)) + (колір (фіолетовий) 1 * колір (синій) (1 ^ 6) * колір (червоний) ((2x) ^ 0)) #

Потім ми можемо спростити її.

# 64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1 #

Тому коефіцієнт # x ^ 4 # є #240#.

(ii)

Ми вже знаємо розширення # (1 + 2x) ^ 6 #. Тепер ми можемо помножити два вирази разом.

# color (коричневий) (1-x (1/4)) * колір (помаранчевий) (64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1) #

Коефіцієнт # x # в # 1-x (1/4) # є #1#. Отже, ми знаємо, що вона підніме значення експонентів в іншому виразі на #1#. Тому що нам потрібен коефіцієнт # x ^ 4 #, нам просто потрібно помножити # 160x ^ 3 # від # 1-x (1/4) #.

# 160x ^ 3-40x ^ 4 #

Тепер ми повинні додати його # 240x ^ 4 #. Це одна частина рішення # 240x ^ 4 * (1-x (1/4)) #, внаслідок множення на #1#. Це є значним, оскільки воно також має показник #4#.

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #

Тому коефіцієнт є #200#.

Відповідь:

i. # 240x ^ 4 #

ii. # 200x ^ 4 #

Пояснення:

Біноміальна експансія для # (a + bx) ^ c # можуть бути представлені як:

#sum_ (n = 0) ^ c (c!) / (n! (c-n)!) a ^ (c-n) (bx) ^ n #

Для частини 1 нам потрібно тільки коли # n = 4 #:

# (6!) / (4! (6-4)!) 1 ^ (6-4) (2x) ^ 4 #

# 720 / (24 (2)) 16x ^ 4 #

# 720/48 16x ^ 4 #

# 15 * 16x ^ 4 #

# 240x ^ 4 #

Для частини 2, ми також потребуємо # x ^ 3 # термін через # x / 4 #

# (6!) / (3! (6-3)!) 1 ^ (6-3) (2x) ^ 3 #

# 720 / (3! (3)!) 8x ^ 3 #

# 720 / (6 ^ 2) 8x ^ 3 #

# 720/36 8x ^ 3 #

# 20 * 8x ^ 3 #

# 160x ^ 3 #

# 160x ^ 3 (-x / 4) = - 40x ^ 4 #

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #