Що таке проекція (i -2j + 3k) на (3i + 2j - 3k)?

Відповідь:

#proj_vec v vec u = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #

Пояснення:

Щоб полегшити їх звернення, назвемо перший вектор #vec u # і другий #vec v #. Ми хочемо проекту #vec u # на #vec v #:

#proj_vec v vec u = ((vec u * vec v) / || vec v || ^ 2) * vec v #

Тобто, на словах, проекція вектора #vec u # на вектор #vec v # є крапковим продуктом двох векторів, розділених квадратом довжини #vec v # разів вектор #vec v #. Зауважте, що фрагмент у дужках - це скаляр, який говорить нам про те, як далеко по напрямку #vec v # проекція досягає.

По-перше, знайдемо довжину #vec v #:

# || vec v || = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt22 #

Але зверніть увагу, що у виразі те, що ми насправді хочемо, це # || vec v || ^ 2 #, так що якщо ми обіймемо обидві сторони, ми просто отримаємо #22#.

Тепер нам потрібен крапковий продукт #vec u # і #vec v #:

#vec u * vec v = (1xx3 + (- 2) xx2 + 3xx (-3)) = (3-4-9) = (-10) #

(Щоб знайти точковий продукт, ми множимо коефіцієнти #i, j і k # і додати їх)

Тепер у нас є все, що нам потрібно:

#proj_vec v vec u = ((vec u * vec v) / || vec v || ^ 2) * vec v = (-10/22) (3i + 2j 3k) #

# = (- 30 / 22i-20 / 22j + 30 / 22k) = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #