Дозволяти N найменше ціле з 378 дільників. Якщо N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, що таке значення {a, b, c, d} в NN?

Відповідь:

# (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19 051 200

Пояснення:

Дано число # n # з простою факторизацією #n = p_1 ^ (alpha_1) p_2 ^ (alpha_2) … p_k ^ (alpha_k) #, кожен дільник # n # має форму # p_1 ^ (beta_1) p_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # де #beta_i у {0, 1, …, alpha_i} #. Як є # alpha_i + 1 # вибір для кожного # beta_i #, кількість дільників # n # дається

# (alpha_1 + 1) (alpha_2 + 1) … (alpha_k + 1) = prod_ (i = 1) ^ k (alpha_i + 1) #

Як # N = 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #, кількість дільників # N # дається # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #. Таким чином, наша мета - знайти #(а Б В Г)# таке, що зазначений вище продукт зберігається і # 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d # мінімальна. Як ми зводимо до мінімуму, ми будемо вважати з цього моменту далі #a> = b> = c> = d # (якщо це не так, ми могли б поміняти експоненти, щоб отримати менший результат з однаковим числом дільників).

Відзначаючи це # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #Ми можемо розглядати можливі випадки, в яких #378# написано як добуток чотирьох цілих чисел # k_1, k_2, k_3, k_4 #. Ми можемо перевірити їх, щоб побачити, який результат дає найменший результат # N #.

Формат: # (k_1, k_2, k_3, k_4) => (a, b, c, d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2, 3, 3 ^ 2, 7) => (8, 6, 2, 1) => ~ 3.3xx10 ^ 7 #

# (2, 3, 3, 3 * 7) => (20, 2, 2, 1) => ~ 1.7xx10 ^ 9 #

#color (червоний) ((3, 3, 2 * 3, 7) => (6, 5, 2, 2) => ~ 1.9xx10 ^ 7) #

# (3, 3, 3, 2 * 7) => (13, 2, 2, 2) => ~ 9.0xx10 ^ 7 #

# (1, 3, 2 * 3 ^ 2, 7) => (17, 6, 2, 0) => ~ 2.4xx10 ^ 9 #

Ми можемо зупинитися тут, оскільки будь-які подальші випадки будуть мати #k_i> = 27 #, даючи # 2 ^ a> = 2 ^ 26 ~~ 6.7xx10 ^ 7 #, що вже більше, ніж у нашому найкращому випадку.

За вищеописаною роботою, то #(а Б В Г)# який виробляє мінімальний # N # с #378# дільники # (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #, даючи #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19 051 200