Сума квадрата з трьох цілих чисел становить 324. Як знайти цілі числа?

Відповідь:

Єдиним рішенням з різними позитивними числами є #(2, 8, 16)#

Повний набір рішень:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

Пояснення:

Ми можемо заощадити деякі зусилля, враховуючи те, що формують квадрати.

Якщо # n # це непарне ціле число #n = 2k + 1 # для деякого цілого числа # k # і:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

Зверніть увагу, що це непарне ціле число форми # 4p + 1 #.

Отже, якщо додати квадрати з двох непарних цілих чисел, то ви завжди отримаєте ціле число форми # 4k + 2 # для деякого цілого числа # k #.

Зверніть увагу на це #324 = 4*81# має форму # 4k #, не # 4k + 2 #.

Отже, можна зробити висновок, що всі ці три числа повинні бути рівними.

З кінцевим числом існує кінцеве число рішень # n ^ 2> = 0 # для будь-якого цілого числа # n #.

Розглянемо рішення в невід'ємних цілих числах. У кінці можна додати варіанти, що включають негативні цілі числа.

Припустимо, що найбільше ціле число # n #, потім:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

Тому:

# 12 <= n <= 18 #

Це призводить до можливих сум квадратів інших двох цілих чисел:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

Для кожного з цих значень # k #, припустимо, що найбільшим залишається ціле число # m #. Потім:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

і ми вимагаємо # k-m ^ 2 # бути ідеальним квадратом.

Тому ми знаходимо рішення:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

Таким чином, єдиним рішенням з різними позитивними числами є #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

Це легко показати # x, y # і # z # повинен бути навіть тому, що роблять # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # і # z = 2m_z # ми маємо

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # або

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # що є абсурдним.

Отже, ми розглянемо відтепер

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

Тепер розглянемо особистість

# ((l ^ 2 + m ^ 2 -n ^ 2) / n) ^ 2 + (2l) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n) ^ 2 #

с # l, m, n # довільні натуральні числа і формування

# {(m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n), (m_y = 2l), (m_z = 2m), (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} # ------ 1

ми маємо

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # або рішення для # n #

#n = 1/2 (9 вечора в кв. (9 ^ 2-4 (л ^ 2 + м ^ 2))) #

тому для реалізації нам потрібна

# 9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2) = p ^ 2 # або

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (l ^ 2 + m ^ 2) = q #

так для # p = {1,2,3,4,5,6,7,8} # ми матимемо

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # так можливо # q # є

#q_f = {80,72,56,32} # оскільки #q equiv 0 mod 4 #

тому ми повинні знайти

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # або

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = бар q_i = {20,18,14,8} #

Тут, як ми можемо легко перевірити, єдине рішення для

# l_1 = 2, m_1 = 4 # оскільки

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = бар q_1 #

і отже # n_1 = {4,5} #

і підставляючи в 1, отримуємо

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

надання рішення

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16):} #