Як диференціювати f (x) = (x-e ^ x) (cosx + 2sinx) за допомогою правила продукту?

Відповідь:

Спочатку ви використовуєте виробниче правило, щоб отримати

# d / dx f (x) = (d / dx (x-e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) #

Потім скористайтеся лінійністю похідних і похідних визначень функцій для отримання

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx #

Пояснення:

Правило продукту передбачає прийняття похідної функції, кратної двох (або більше) функцій у формі #f (x) = g (x) * h (x) #. Правилом продукту є

# d / dx f (x) = (d / dx g (x)) * h (x) + g (x) * (d / dx h (x)) #.

Застосовуючи його до нашої функції,

#f (x) = (x-e ^ x) (cosx + 2sinx) #

Ми маємо

# d / dx f (x) = (d / dx (x-e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) #.

Додатково потрібно використовувати лінійність виведення, тобто

# d / dx (a * f (x) + b * g (x)) = a * (d / dx f (x)) + b * (d / dx g (x)) #.

Застосовуючи це ми маємо

# d / dx f (x) = (d / dx (x) -d / dx (e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (xe ^ x) (d / dx (cosx) + 2 * d / dx (sinx)) #.

Потрібно робити окремі похідні цих функцій, які ми використовуємо

# d / dx x ^ n = n * x ^ {n-1} # # # # # # # # d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin x = cos x # # # # # # # # d / dx cos x = - sin x #.

Тепер у нас є

# d / dx f (x) = (1 * x ^ 0-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) #.

# d / dx f (x) = (1-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) #

На даний момент ми трохи охайні

# d / dx f (x) = (cosx + 2sinx) -e ^ x (cosx + 2sinx) + x (-sinx + 2 * cosx) + e ^ x (sinx-2cosx) #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-e ^ xcosx-2 e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx + e ^ x sinx-2e ^ xcosx #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx #