Що таке проекція (4 i + 4 j + 2 k) на (i + j -7k)?

Відповідь:

Векторна проекція #< -2/17,-2/17,14/17 >#, скалярна проекція # (- 2sqrt (51)) / 17 #. Дивись нижче.

Пояснення:

Дано # veca = (4i + 4j + 2k) # і # vecb = (i + j-7k) #, ми можемо знайти #proj_ (vecb) veca #, вектор проекція # veca # на # vecb # використовуючи таку формулу:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Тобто точковий твір двох векторів ділиться на величину # vecb #, помножений на # vecb # ділиться на його величину. Друга величина - векторна величина, оскільки ми ділимо вектор на скаляр. Зауважте, що ми ділимо # vecb # за його величиною для того, щоб отримати a блок вектор (вектор з величиною #1#).Ви можете помітити, що перша величина є скалярною, оскільки ми знаємо, що коли ми беремо точковий продукт з двох векторів, то результуючим є скаляр.

Тому скалярний проекція # a # на # b # є #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, також написано # | proj_ (vecb) veca | #.

Ми можемо почати з точкового продукту двох векторів, які можна записати як # veca = <4,4,2> # і # vecb = <1,1, -7> #.

# veca * vecb = <4,4,2> * <1,1, -7> #

#=> (4*1)+(4*1)+(2*-7)#

#=>4+4-14=-6#

Тоді ми можемо знайти величину # vecb # беручи квадратний корінь із суми квадратів кожного з компонентів.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = sqrt ((1) ^ 2 + (1) ^ 2 + (- 7) ^ 2) #

# => sqrt (1 + 1 + 49) = sqrt (51) #

І тепер у нас є все необхідне, щоб знайти векторну проекцію # veca # на # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 6) / sqrt (51) * (<1,1, -7>) / sqrt (51) #

#=>(-6 < 1,1,-7 >)/51#

#=>-2/17< 1,1,-7 >#

Коефіцієнт можна розподілити для кожного компонента вектора і записати як:

#=>< -2/17,-2/17,+14/17 >#

Скалярна проекція # veca # на # vecb # це лише перша половина формули, де #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Отже, скалярна проекція є # -6 / sqrt (51) #, що не спрощує подальшого, крім того, щоб раціоналізувати знаменник при бажанні, даючи # (- 6sqrt (51)) / 51 => (-2sqrt (51)) / 17 #

Сподіваюся, що це допоможе!