Ми маємо x, y, t inRR, що x + y + t = 2, xy + yt + xt = 1. Як довести, що x, y, t в [0,4 / 3]?

Відповідь:

Дивись нижче.

Пояснення:

Зосередження уваги # t #

Знайти # ((min), (макс.) t #

піддають

# g_1 (x, y, t) = x + y + t-2 = 0 # і

# g_2 (x, y, t) = xy + yt + xt-1 = 0 #

Формування лагранжа

#L (x, y, t, lambda_1, lambda_2) = t + lambda_1 g_1 (x, y, t) + лямбда_2 g_2 (x, y, t) #

Стаціонарними є умови

#grad L = 0 # або

# {(lambda_1 + lambda_2 (t + y) = 0), (lambda_1 + lambda_2 (t + x) = 0), (1 + lambda_1 + lambda_2 (x + y) = 0), (t + x + y = 2), (tx + ty + xy = 1):} #

Рішення ми отримуємо

# ((x, y, t, лямбда_1, лямбда_2), (1,1,0,1, -1), (1 / 3,1 / 3,4 / 3, -5 / 3,1)) # тому ми можемо це побачити

#t in 0,4 / 3 #

Створення цієї процедури # x # і # y # ми також отримуємо

#x у 0, 4/3 # і

#y у 0, 4/3 #