Відповідь:
Визначено цілісний інтеграл # 2int_3 ^ 5sqrt (25 - x ^ 2) dx #.
Пояснення:
Завжди існує кілька способів підходу до проблем інтеграції, але саме так я вирішив цю проблему:
Ми знаємо, що рівняння для нашого кола:
# x ^ 2 + y ^ 2 = 25 #
Це означає, що для будь-якого # x # Значення ми можемо визначити двома # y # значення вище і нижче цієї точки на осі x, використовуючи:
# y ^ 2 = 25 - x ^ 2 #
#y = sqrt (25-x ^ 2) #
Якщо уявити, що лінія звернена від вершини кола до дна з постійною # x # значення в будь-якій точці, вона буде мати довжину в два рази більше # y # Значення дано вищевказаним рівнянням.
# r = 2sqrt (25 - x ^ 2) #
Оскільки нас цікавить область між лінією #x = 3 # і кінець кола на #x = 5 #це будуть наші цілісні межі. З цього моменту написання чіткого інтеграла просте:
#A = int_3 ^ 5rdx = 2int_3 ^ 5sqrt (25 - x ^ 2) dx #
Відповідь:
Як альтернатива, в полярному
# = 25int_ {0} ^ {arcsin (4/5)}
Пояснення:
Ви можете зробити це також у полярних
коло в полярному r = 5 і використовуючи найпростішу формулювання області #A = 1/2 int t стає, використовуючи симетрію щодо осі х
#A = 2 рази (1/2 int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} 5 p 2 - psi - колір {червоний} {1/2 * 3 * 4}) #
де червона біта показана зафарбованою червоним кольором на кресленні
# = 25int_ {0} ^ {arcsin (4/5)}
# = 25 psi _ {0} ^ {arcsin (4/5)} - 12 #
# = 25 arcsin (4/5) - 12 #
