Що таке проекція (3i + 2j - 6k) на (3i - 4j + 4k)?

Відповідь:

Векторна проекція #< -69/41,92/41,-92/41 >#, скалярна проекція # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Пояснення:

Дано # veca = (3i + 2j-6k) # і # vecb = (3i-4j + 4k) #, ми можемо знайти #proj_ (vecb) veca #, вектор проекція # veca # на # vecb # використовуючи таку формулу:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Тобто точковий твір двох векторів ділиться на величину # vecb #, помножений на # vecb # ділиться на його величину. Друга величина - векторна величина, оскільки ми ділимо вектор на скаляр. Зауважте, що ми ділимо # vecb # за його величиною для того, щоб отримати a блок вектор (вектор з величиною #1#). Ви можете помітити, що перша величина є скалярною, оскільки ми знаємо, що коли ми беремо точковий продукт з двох векторів, то результуючим є скаляр.

Тому скалярний проекція # a # на # b # є #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, також написано # | proj_ (vecb) veca | #.

Ми можемо почати з точкового продукту двох векторів, які можна записати як # veca = <3,2, -6> # і # vecb = <3, -4,4> #.

# veca * vecb = <3,2, -6> * <3, -4,4> #

#=> (3*3)+(2*-4)+(-6*4)#

#=>9-8-24=-23#

Тоді ми можемо знайти величину # vecb # беручи квадратний корінь із суми квадратів кожного з компонентів.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = sqrt ((3) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => sqrt (9 + 16 + 16) = sqrt (41) #

І тепер у нас є все необхідне, щоб знайти векторну проекцію # veca # на # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 23) / sqrt (41) * (<3, -4,4>) / sqrt (41) #

#=>(-23 < 3,-4,4 >)/41#

#=>-23/41< 3,-4,4 >#

Коефіцієнт можна розподілити для кожного компонента вектора і записати як:

#=>< -69/41,92/41,-92/41 >#

Скалярна проекція # veca # на # vecb # це лише перша половина формули, де #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Отже, скалярна проекція є # -23 / sqrt (41) #, що не спрощує подальшого, крім того, щоб раціоналізувати знаменник при бажанні, даючи # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Сподіваюся, що це допоможе!