Якщо 3x ^ 2-4x + 1 має нулі альфа і бета, то який квадратичний має нулі альфа ^ 2 / бета і бета ^ 2 / альфа?

Відповідь:

Знайти # alpha # і # beta # спочатку.

Пояснення:

# 3x ^ 2 - 4x + 1 = 0 #

Ліва сторона факторів, так що ми маємо

# (3x - 1) (x - 1) = 0 #.

Без втрати спільності, коріння є #alpha = 1 # і #beta = 1/3 #.

# alpha ^ 2 / beta = 1 ^ 2 / (1/3) = 3 # і #(1/3)^2/1= 1/9#.

Поліном з раціональними коефіцієнтами, що мають ці корені

#f (x) = (x - 3) (x - 1/9) #

Якщо ми бажаємо цілих коефіцієнтів, помножте на 9, щоб отримати:

#g (x) = 9 (x - 3) (x - 1/9) = (x - 3) (9x - 1) #

Ми можемо помножити це, якщо хочемо:

#g (x) = 9x ^ 2 - 28x + 3 #

ПРИМІТКА: Загалом, ми можемо написати

#f (x) = (x - альфа ^ 2 / бета) (x - бета ^ 2 / альфа) #

# = x ^ 2 - ((альфа ^ 3 + бета ^ 3) / (alphabeta)) x + alphabeta #

Відповідь:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Пояснення:

Зауважте, що:

# (x-alpha) (x-бета) = x ^ 2- (альфа + бета) x + альфа-бета #

і:

# (x-alpha ^ 2 / beta) (x-бета ^ 2 / альфа) = x ^ 2- (альфа ^ 2 / бета + бета ^ 2 / альфа) x + (альфа ^ 2 / бета) (бета ^ 2 / альфа) #

# color (білий) ((x-alpha ^ 2 / beta) (x-бета ^ 2 / альфа)) = x ^ 2- (альфа ^ 3 + бета ^ 3) / (альфа-бета) x + альфа-бета #

# color (білий) ((x-альфа ^ 2 / бета) (x-бета ^ 2 / альфа)) = x ^ 2 - ((альфа + бета) ^ 3-3альфа бета (альфа + бета)) / (альфа бета) x + alpha beta #

У нашому прикладі поділ # 3x ^ 2-4x + 1 # від #3# ми маємо:

# {(альфа + бета = 4/3), (альфа-бета = 1/3):} #

Тому:

# (альфа + бета) ^ 3-3альфа бета (альфа + бета)) / (альфа-бета) = ((4/3) ^ 3-3 (1/3) (4/3)) / (1/3)) = (64 / 27-4 / 3) / (1/3) = 28/9 #

Отже, бажаний поліном можна записати:

# x ^ 2-28 / 9x + 1/3 #

Помножте через #9# отримати цілі коефіцієнти:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Відповідь:

Запропоноване рішення нижче;

Пояснення:

# 3x²-4x + 1 #

Примітка: # a # є альфа, # b # є бета-версією

#a + b = 4/3 #

#ab = 1/3 #

Для формування рівняння знаходимо суму і продукти коренів.

Для суми

# (a²) / b + (b²) / a = (a ^ 3 + b ^ 3) / (ab) #

Але; # a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ³-3ab (a + b) #

Тому;

# ((a + b) ³-3ab (a + b)) / (ab) #

Тому ми підставляємо значення..

#((4/3)³-3(1/3)(4/3))/(1/3)#

# ((64/27) -cancel3 (1 / cancel3) (4/3)) / (1/3) #

#(64/27 - 4/3)/(1/3)#

#((64 - 36)/27)/(1/3)#

#(28/27)/(1/3)#

# (28/27) div (1/3) #

# (28/27) xx (3/1) #

# (28 / cancel27_9) xx (скасувати3 / 1) #

#28/9#

Отже, сума є #28/9#

Для продуктів

# ((a²) / b) ((b²) / a) #

# ((ab) ²) / (ab) #

# (1/3) ^ 2 div 1/3 #

# 1/9 div 1/3 #

# 1/9 xx 3/1 #

# 1 / cancel9_3 xx cancel3 / 1 #

# 1/3 xx 1/1 #

#1/3#

Отже, продукт є #1/3#

# x²- (a + b) x + ab #

# x²- (28/9) x + 1/3 #

# 9x²-28x + 3 #

Перемножуючи через #9#

Сподіваюся, що це допомагає!