Питання 0df97

Відповідь:

Відповідь на 4 є # e ^ -2 #.

Пояснення:

Проблема така:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Тепер це складна проблема. Рішення полягає в дуже ретельному розпізнаванні образів. Ви можете згадати визначення # e #:

# e = lim_ (u-> oo) (1 + 1 / u) ^ u ~~ 2.718 … #

Якщо ми можемо переписати межу як щось близьке до визначення # e #, ми б отримали нашу відповідь. Отже, спробуємо.

Зверніть увагу на це #lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) # еквівалентно:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4-2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Ми можемо розділити дроби так:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4) / (2x + 4) -2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Ми потрапляємо туди! Давайте розберемо a #-2# зверху і знизу:

#lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + ((- 2)) / (- 2 (-x-2))) ^ (2x + 2) #

# -> lim_ (x-> oo) (1+ (скасувати (-2)) / (скасувати (-2) (- x-2))) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

Застосуємо заміну # u = -x-2-> x = -2-u #:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (2 (-2-u) + 2 #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 4-2u + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) #

Властивості показників говорять: # x ^ (a + b) = x ^ ax ^ b #

Тому #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) # еквівалентно:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Властивості показників також говорять про те, що: # x ^ (ab) = x ^ (a ^ b) #

Це означає, що це ще більше зменшує:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

За визначенням, #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (u) = e #; і з використанням прямого заміщення на другому граничному виході:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = 1 / (1 + 1 / оо) ^ (2) #

#=1/(1+0)^(2)#

#=1/1^(2)=1#

Таким чином, рішення …

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = (e) ^ - 2 (1) #

# = e ^ -2 #