Вирішити питання 39?

Відповідь:

B

Пояснення:

По-перше, ми повинні скористатися тим фактом, що числа повинні бути послідовними, називаючи цифри, які ми вибираємо # n-1, n, n + 1 #, де, якщо ми дотримуємося обмежень # n # має бути між #-9# і #9# включно.

По-друге, зверніть увагу, що якщо ми отримаємо певне значення для конкретного # a, b, c #, ми можемо обмінюватися навколо цих конкретних значень, але все ж отримувати той же результат. (Я вважаю, що це називається перестановкою, але забудьте належний термін)

Тому ми можемо просто відпустити # a = n-1 #,# b = n #,# c = n + 1 #, тепер ми підключаємо це до:

# (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3abc) / (a + b + c) ^ 2 #

# = ((n-1) ^ 3 + n ^ 3 + (n + 1) ^ 3 + 3 (n-1) (n) (n + 1)) / (n-1 + n + n + 1) ^ 2 #

# = (n ^ 3-3n ^ 2 + 3n-1 + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n ^ 2 + 3n + 1 + 3n (n ^ 2-1)) / (3n) ^ 2 #

# = (n ^ 3 + 3n + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n + 3n ^ 3-3) / (9n ^ 2) #

# = (6n ^ 3 + 6n-3) / (9n ^ 2) #

# = (2n ^ 3 + 2n-1) / (3n ^ 2) #

Тепер наша проблема стає бачити, за якими значеннями # -9 <= n <= 9 # вираз дає ціле значення, скільки різних значень ми отримуємо.

Я збираюся продовжити рішення в окремій відповіді, щоб полегшити читання.

Відповідь:

Частина 2 мого сольн. Це буде використовувати модульну арифметику, але якщо ви не знайомі з нею, то завжди існує можливість суббідування у всіх необхідних значеннях # n #

Пояснення:

Оскільки вираз має бути цілим числом, то дно має розділити вершину точно. Таким чином, чисельник повинен мати коефіцієнт 3. А для цього слід використовувати модульну арифметику.

Вивчіть, для чого n задовольняє: # 2n ^ 3 + 2n-1- = 0 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n- = 1 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n - = - 2 mod3 #

# n ^ 3 + n - = - 1 mod3 #

Тепер робота у справах:

1. Ми намагаємося # n = 3k #

# LHS = (3k) ^ 3 + 3k #

# = 3 (9k ^ 3 + k) - = 0 mod3 #, який не працює

2. Ми намагаємося # n = 3k + 1 #

# LHS = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = 27k ^ 3 + 27k ^ 2 + 27k + 1 + 3k + 1 #

# - = 2 - = - 1 mod3 #, який працює

3. Ми намагаємося # n = 3k-1 #:

# LHS = (3k-1) ^ 3 + (3k-1) #

# = 27k ^ 3-27k ^ 2 + 27k-1 + 3k-1 #

#-=-2-=1#, який не працює

Отже, ми виводимо це # n # має бути форми # 3k + 1 #, або один більше, ніж кратний 3. Враховуючи наш діапазон для n, будучи # -9 <= n <= 9 #, ми маємо можливі значення:

# n = -8, -5, -2,1,4,7 #.

На цьому етапі ви зможете скористатися тим, що # n = 3k + 1 #, але тільки з 6 значеннями для перевірки я вирішив замість того, щоб обчислити кожен замість цього, і єдине значення для # n # що працює # n = 1 #, виробляючи результат #1#.

Отже, нарешті, єдиний набір послідовних чисел, які виробляють цілий результат - це #0,1,2#, даючи #1# отже, відповідь # B #