Яка дисперсія стандартного нормального розподілу?

Відповідь:

Дивись нижче. Нормальна нормальна нормальна така, що #mu, sigma = 0,1 # тому ми заздалегідь знаємо результати.

Пояснення:

PDF для стандартної норми: #mathbb P (z) = 1 / sqrt (2 пі) e ^ (- z ^ 2/2) #

Це має середнє значення:

# mu = int _ (- oo) ^ (oo) dz z mathbb P (z) = 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) dz ze ^ (- z ^ 2/2)) #

# = 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (оо) d (- e ^ (- z ^ 2/2)) #

# = 1 / sqrt (2 пі) e ^ (- z ^ 2/2) _ (oo) ^ (- oo) = 0 #

Звідси випливає, що:

# Var (z) = int _ (- oo) ^ (oo) dz (z - mu) ^ 2 mathbb P (z) #

# = 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) dz z ^ 2 e ^ (- z ^ 2/2) #

На цей раз використовуйте IBP:

# Var (z) = - 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) d (e ^ (- z ^ 2/2)) t

# = - 1 / sqrt (2 pi) (ze ^ (- z ^ 2/2) _ (- oo) ^ (oo) - int _ (- oo) ^ (oo) dz ^ 2/2)) #

# = - 1 / sqrt (2 pi) (ze ^ (- z ^ 2/2) _ (- oo) ^ (oo) - int _ (- oo) ^ (oo) dz ^ 2/2)) #

Оскільки # z e ^ (- z ^ 2/2) _ (- oo) ^ (oo) = 0 #

# = 1 / sqrt (2 pi) int _ (- oo) ^ (oo) dz e ^ (- z ^ 2/2) #

Цей інтеграл добре відомий. Це може бути зроблено за допомогою полярної підгрупи, але тут викладено результат.

# Var (z) = 1 / sqrt (2 пі) sqrt (2 пі) = 1 #