Як поділити (i + 3) / (-3i +7) в тригонометричній формі?

Відповідь:

# 0.311 + 0.275i #

Пояснення:

Спочатку я перепишу вирази у вигляді # a + bi #

# (3 + i) / (7-3i) #

Для комплексного числа # z = a + bi #, # z = r (costheta + isintheta) #, де:

# r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #
# theta = tan ^ -1 (б / а) #

Подзвонимо # 3 + i # # z_1 # і # 7-3i # # z_2 #.

Для # z_1 #:

# z_1 = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) #

# r_1 = sqrt (3 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (9 + 1) = sqrt (10) #

# theta_1 = tan ^ -1 (1/3) = 0,32 ^ c #

# z_1 = sqrt (10) (cos (0,32) + isin (0,32)) #

Для # z_2 #:

# z_2 = r_2 (costheta_2 + isintheta_2) #

# r_2 = sqrt (7 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt (58) #

# theta_2 = tan ^ -1 (-3/7) = - 0,40 ^ c #

Однак так # 7-3i # знаходиться в квадранті 4, ми повинні отримати позитивний кутовий еквівалент (негативний кут йде за годинниковою стрілкою навколо кола, і нам потрібен кут проти годинникової стрілки).

Щоб отримати позитивний кутовий еквівалент, додаємо # 2pi #, # tan ^ -1 (-3/7) + 2pi = 5,88 ^ c #

# z_2 = sqrt (58) (cos (5,88) + isin (5,88)) #

Для # z_1 / z_2 #:

# z_1 / z_2 = r_1 / r_2 (cos (theta_1-theta_2) + isin (theta_1-theta_2)) #

#color (білий) (z_1 / z_2) = sqrt (10) / sqrt (58) (cos tan ^ -1 (1/3) - (загар ^ -1 (-3/7) + 2pi) + isin tan ^ -1 (1/3) - (загар ^ -1 (-3/7) + 2pi)) #

#color (білий) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29 (cos tan ^ -1 (1/3) -tan ^ -1 (-3/7) -2pi + isin tan ^ -1 (1/3) -tan ^ -1 (-3/7) -2pi) #

#color (білий) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29 (cos (-5.56) + isin (-5.56)) #

#color (білий) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29cos (-5.56) + isqrt (145) / 29sin (-5.56) #

#color (білий) (z_1 / z_2) = 0.311 + 0.275i #

Доказ:

# (3 + i) / (7-3i) * (7 + 3i) / (7 + 3i) = ((3 + i) (7 + 3i)) / ((7-3i) (7 + 3i)) = (21 + 7i + 9i + 3i ^ 2) / (49 + 21i-21i-9i ^ 2) = (21 + 16i + 3i ^ 2) / (49-9i ^ 2) #

# i ^ 2 = -1 #

# = (21 + 16i-3) / (49 + 9) = (18 + 16i) /58=9/29+8/29i~~0.310+0.275i#

Як поділити (2i + 5) / (-7 i + 7) у тригонометричній формі?

0.54 (cos (1.17) + isin (1.17)) Розділимо їх на дві окремі комплексні числа, починаючи з одного, один - чисельник, 2i + 5 і один знаменник, -7i + 7. Ми хочемо отримати їх від лінійної форми (x + iy) до тригонометричної (r (costheta + isintheta), де тета є аргументом, а r - модулем, для 2i + 5 - r = sqrt (2 ^ 2 + 5 ^ 2) ) = sqrt29 tantheta = 2/5 -> тета = arctan (2/5) = 0.38 "рад" і для -7i + 7 отримуємо r = sqrt ((- 7) ^ 2 + 7 ^ 2) = 7sqrt2 аргумент для другого більш складний, тому що він повинен бути між -pi і pi, ми знаємо, що -7i + 7 має бути в четвертому квадранті, тому буде мати від'ємне значення від

Як поділити (9i-5) / (-2i + 6) в тригонометричній формі?

Frac {-5 + 9i} {6-2i} = {-12 + 11i} / 10, але я не зміг закінчити тригонометричну форму. Це хороші комплексні числа прямокутної форми. Це велика втрата часу, щоб перетворити їх на полярні координати, щоб розділити їх. Давайте спробуємо в обох напрямках: frac {-5 + 9i} {6-2i} cdot {6 + 2i} / {6 + 2i} = {-48 + 44i} / {40} = {-12 + 11i} / 10 Це було легко. Давайте контрастувати. У полярних координатах ми маємо -5 + 9i = sqrt {5 ^ 2 + 9 ^ 2} e ^ {i text {atan2} (9, -5)} пишу текст {atan2} (y, x) як правильні два параметри, чотири квадранта зворотного тангенса. 6-2i = sqrt {6 ^ 2 + 2 ^ 2} e ^ {i text {atan2} (- 2, 6)} frac {-5

Як поділити (-3-4i) / (5 + 2i) в тригонометричній формі?

5 / sqrt (29) (cos (0.540) + isin (0.540)) ~~ 0.79 + 0.48i (-3-4i) / (5 + 2i) = - (3 + 4i) / (5 + 2i) z = a + bi може бути записаний як z = r (costheta + isintheta), де r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) тета = tan ^ -1 (b / a) Для z_1 = 3 + 4i: r = sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = 5 тета = tan ^ -1 (4/3) = ~~ 0,927 Для z_2 = 5 + 2i: r = sqrt (5 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt29 тета = tan ^ -1 (2/5) = ~~ 0.381 Для z_1 / z_2: z_1 / z_2 = r_1 / r_2 (cos (theta_1-theta_2) + isin (theta_1-theta_2)) z_1 / z_2 = 5 / sqrt (29) ( cos (0.921-0.381) + isin (0.921-0.381)) z_1 / z_2 = 5 / sqrt (29) (cos (0.540) + isin (0.540)) = 0.79 + 0.48i Доказ: - (3 + 4i) / ( 5