Що таке комплексні числа?

Комплексні числа - це числа форми # a + bi # де # a # і # b # є дійсними числами і # i # визначається як # i = sqrt (-1) #.

(Вищезгадане є базовим визначенням складних чисел. Читайте далі про них.)

Багато чого, як ми позначаємо набір дійсних чисел як # RR #ми позначимо безліч комплексних чисел як # CC #. Зауважимо, що всі реальні числа також є комплексними числами, як будь-яке дійсне число # x # можуть бути написані як # x + 0i #.

Дано комплексне число # z = a + bi #, ми говоримо так # a # є реальна частина комплексного числа (позначено # "Re" (z) #) і # b # є уявна частина комплексного числа (позначено # "Im" (z) #).

Виконання операцій з комплексними числами аналогічно виконанню операцій на біномах. Дано два складних числа # z_1 = a_1 + b_1i # і # z_2 = a_2 + b_2i #

# z_1 + z_2 = a_1 + b_1i + a_2 + b_2i = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i #

# z_1-z_2 = a_1 + b_1i- (a_2 + b_2i) = (a_1-a_2) + (b_1-b_2) i #

# z_1xxz_2 = (a_1 + b_1i) (a_2 + b_2i) #

# = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i ^ 2 #

# = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i-b_1b_2 # (пам'ятайте # i = sqrt (-1) #)

# = (a_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1) i #

# z_1-: z_2 = (a_1 + b_1i) / (a_2 + b_2i) #

# = ((a_1 + b_1i) (a_2-b_2i)) / ((a_2 + b_2i) (a_2-b_2i)) #

# = ((a_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1-a_1b_2) i) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) #

# = (a_1a_2 + b_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) + (a_2b_1-a_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) i #

Для поділу ми використовували той факт, що # (a + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2 #. Дано комплексне число # z = a + bi # ми називаємо # a-bi # складний кон'югат з # z # і позначимо його #bar (z) # Це корисна властивість (як видно вище) #zbar (z) # завжди є реальним числом.

Комплексні числа мають багато корисних додатків і атрибутів, але часто зустрічаються рано - використання їх у поліномах факторингу. Якщо ми обмежимося тільки дійсними числами, то поліном такий, як # x ^ 2 + 1 # не може бути включено далі, однак, якщо ми допускаємо комплексні числа, то маємо # x ^ 2 + 1 = (x + i) (x-i) #.

Насправді, якщо ми допустимо комплексні числа, то будь-який поліном з однією змінною ступеня # n # може бути записано як твір # n # лінійні фактори (можливо, деякі з них однакові). Цей результат відомий як Фундаментальна теорема алгебри, і, як видно з назви, дуже важлива для алгебри і має широке застосування.