Як вирішити sin3x = cos3x?

Відповідь:

Використовуйте #tan 3x = (sin 3x) / (cos 3x) = 1 # знайти:

#x = pi / 12 + (n pi) / 3 #

Пояснення:

Дозволяє #t = 3x #

Якщо #sin t = cos t # потім #tan t = sin t / cos t = 1 #

Тому #t = arctan 1 + n pi = pi / 4 + n pi # для будь-якого #n у ZZ #

Тому #x = t / 3 = (pi / 4 + n pi) / 3 = pi / 12 + (n pi) / 3 #

Відповідь:

Вирішити sin 3x = cos 3x

Відповідь: #x = pi / 12 + Kpi / 3 #

Пояснення:

Використовуйте взаємозалежні дуги:# cos x = sin (pi / 2 - x) #

#sin 3x = sin (pi / 2 - 3x) #

a. # 3x = pi / 2 - 3x # + 2Kpi -> # 6x = pi / 2 + 2Kpi -> #

#x = pi / 12 + Kpi / 3 #

В межах інтервалу# (0,2pi) # є 6 відповідей: # pi / 12; (5pi) / 12; (9pi) / 12; (13pi) / 12; (17pi) / 12; та (21pi) /12.

b. # 3x = pi - (pi / 2 - 3x) = pi / 2 + 3x. Це рівняння не визначено.

Перевірити

#x = pi / 12 -> sin 3x = sin pi / 4 = sqrt2 / 2 #

#x = pi / 12 -> cos 3x = cos pi / 4 = sqrt2 / 2 #

Тому sin 3x = cos 3x:

Ви можете перевірити інші відповіді.

Відповідь:

#x = {(pi / 12 + (2pik) / 3), ("" колір (чорний) і), (- pi / 4 + (2pik) / 3):} #

# kinZZ #

Пояснення:

Ось інший метод, який має власне використання.

По-перше, відправляйте кожну річ в одну сторону

# => sin (3x) -cos (3x) = 0 #

Далі висловлюємо # sin3x-cos3x # як #Rcos (3x + lambda) #

# R # є позитивним реальним і # lambda # - кут

# => sin (3x) -cos (3x) = Rcos (3x + lambda) #

# => - cos (3x) + sin (3x) = Rcos (3x) coslambda-Rsin (3x) sinlambda #

Прирівнюють коефіцієнти # cosx # і # sinx # з обох сторін

# => "" Rcoslambda = -1 "" … колір (червоний) ((1)) #

# "" -Rsinlambda = 1 "" … колір (червоний) ((2)) #

#color (червоний) (((2)) / ((1))) => - (- Rsinlambda) / (Rcoslambda) = 1 / (- 1) #

# => tanlambda = 1 => лямбда = pi / 4 #

# color (червоний) ((1) ^ 2) + колір (червоний) ((2) ^ 2) => (Rcoslambda) ^ 2 + (- Rsinlambda) ^ 2 = (- 1) ^ 2 + (1) ^ 2 #

# => R ^ 2 (cos ^ 2lambda + sin ^ 2lambda) = 2 #

# => R ^ 2 (1) = 2 => R = sqrt (2) #

Тому, #sin (3x) -cos (3x) = sqrt (2) cos (3x + pi / 4) = 0 #

# => cos (3x + pi / 4) = 0 #

# => 3x + pi / 4 = + - pi / 2 + 2pik #

Де # kinZZ #

Зробити # x # Тема

# => x = + - pi / 6-pi / 12 + 2pik #

Таким чином ми два набори рішень:

#color (синій) (x = {(pi / 12 + (2pik) / 3), ("" колір (чорний) і), (- pi / 4 + (2pik) / 3):}) #

Коли # k = 0 => x = pi / 12 + (2pi (0)) / 3 = pi / 12 #

і # x = -pi / 4 + (2pi (0)) / 3 = -pi / 4 #

Коли # k = 1 => x = pi / 12 + (2pi) / 3 = (9pi) / 12 = (3pi) / 4 #

і # x = -pi / 4 + (2pi) / 3 = (5pi) / 12 #