Спростити повністю: 1 - 2sin ^ 2 20 °?

Нагадаємо, що

#cos (2x) = 1 - 2sin ^ 2x #

Таким чином

#cos (40) = 1 - 2sin ^ 2 (20) #

Тому наше вираження еквівалентно #cos (40) #.

Сподіваюся, це допоможе!

Відповідь:

# 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ = cos 40 ^ circ #

Пояснення:

"Повністю" - це нечітка мета в тригері, як ми побачимо.

По-перше, суть цієї проблеми полягає в тому, щоб розпізнати синусоїдну формулу косинусної подвійної кутової формули:

#cos (2 тета) = cos (тета + тета) = cos тета кос тета - гріх тета гріх тета ## = cos ^ 2 тета - гріх ^ 2 тета = (1 - гріх ^ 2 тета) - гріх ^ 2 тета #

#cos (2 тета) = 1 - 2 гріх ^ 2 тета #

Написання цього для # theta = 20 ^ circ #, #cos (2 (20 ^ circ)) = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ #

#cos 40 ^ circ = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ #

Імовірно #cos 40 ^ circ # це результат "спрощений повністю".

Це відповідь. Монцур пропонує мені дати застереження перед наступною частиною. Це абсолютно не обов'язково; будь ласка, продовжуйте читати, якщо ви хочете дізнатися більше про це #cos 40 ^ circ # і припиніть читання, якщо ви цього не зробите.

#cos 40 ^ circ # спрощена повністю, тому що насправді немає кращого виразу, який можна записати, ніж #cos 40 ^ circ #. # 40 ^ circ # не конструктивна з лінійкою і компасом. Це означає, що його тригерні функції не є результатом цілих чисел, що складаються з додавання, віднімання, множення і ділення і квадратних коренів.

#cos 40 ^ circ # насправді є коренем поліноміального рівняння з цілими коефіцієнтами. # theta = 40 ^ circ # задовольняє рівнянню #cos (44 тета) = - cos (46 тета) #. Якщо #x = cos theta, # це #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x), # де # T #s є поліномами Чебишева першого роду. Замість формул з подвійним і потрійним кутом, вони є формулами в 44 рази і 46 разів.

Тому #cos (40 ^ circ) # є одним з сорока шести коренів:

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1)

Це зовсім не просто.