Які приклади конвергентних рядів?

Відповідь:

Ось три важливі приклади …

Пояснення:

Геометричні серії

Якщо #abs (r) <1 # потім сума геометричних рядів #a_n = r ^ n a_0 # є конвергентним:

#sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) #

Експоненціальна функція

Визначення серії # e ^ x # є конвергентним для будь-якого значення # x #:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) #

Щоб довести це, для будь-якого даного # x #, дозволяє # N # бути цілим числом більше #abs (x) #. Потім #sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) # збігається, оскільки є кінцевою сумою і #sum_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) # збігається, оскільки абсолютне значення співвідношення послідовних термінів менше #abs (x) / (N + 1) <1 #.

Базельська проблема

Проблема Базеля, поставлена в 1644 р. І вирішена Ейлером в 1734 р., Попросила значення суми взаємних відносних квадратів позитивних цілих чисел:

#sum_ (n = 1) ^ oo 1 / (n ^ 2) = pi ^ 2/6 #