(1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2).

Відповідь:

#a = 1, b = 1 #

Пояснення:

Вирішення традиційного способу

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

Зараз вирішується для # a #

#a = 1/2 (1 + b pm sqrt 3 sqrt 2 b - b ^ 2-1) # але # a # має бути реальним, так що умова

# 2 b - b ^ 2-1 ge 0 # або # b ^ 2-2b + 1 le 0 rArr b = 1 #

тепер підставляючи і вирішуючи для # a #

# 1 - 2 a + a ^ 2 = 0 rArr a = 1 # і рішення є

#a = 1, b = 1 #

Інший спосіб зробити те ж саме

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

але

# 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) #

і завершення

# (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) = 0 rArr a = 1, b = 1 #

Відповідь:

D. Є одна пара рішень # (a, b) = (1, 1) #

Пояснення:

Дано:

# (1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) #

Зауважимо, що ми можемо зробити це в хорошу симетричну однорідну задачу шляхом узагальнення до:

# (a + b + c) ^ 2 = 3 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

потім встановіть # c = 1 # в кінці.

Розширюючи обидві сторони цієї узагальненої проблеми, ми маємо:

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3c ^ 2 #

Віднімаючи ліву сторону з обох сторін, отримуємо:

# 0 = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca #

# color (білий) (0) = a ^ 2-2ab + b ^ 2 + b ^ 2-2bc + c ^ 2 + c ^ 2-2ca + a ^ 2 #

# color (білий) (0) = (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 #

Для реальних значень # a #, # b # і # c #, це може утримуватися тільки, якщо всі # (a-b) #, # (b-c) # і # (c-a) # нульові, а отже:

#a = b = c #

Потім покласти # c = 1 # ми знаходимо єдине рішення вихідної проблеми, а саме # (a, b) = (1, 1) #