Відповідь:
Див. Пояснення …
Пояснення:
Якщо # p = q = r # потім:
# px ^ 2 + qx + r = qx ^ 2 + rx + p #
Тому будь-які нулі, які вони мають, будуть спільними.
Зауважте, що ці умови не потрібні.
Наприклад, якщо # p = 0 #, #q! = 0 # і #r! = 0 # потім:
# px ^ 2 + qx + r = 0 # має корінь # x = -r / q #
# qx ^ 2 + rx + p = 0 # має коріння # x = -r / q # і # x = 0 #
Отже, ці два рівняння мають спільний корінь, але #p! = q # і ми не вимагаємо # p + q + r = 0 #.
Відповідь:
Дивіться нижче.
Пояснення:
Як # px ^ 2 + qx + r = 0 # і # qx ^ 2 + rx + p = 0 # мають спільний корінь, хай цей корінь буде # alpha #. Потім
# palpha ^ 2 + qalpha + r = 0 # і # qalpha ^ 2 + ralpha + p = 0 #
і отже # alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = альфа / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
і # alpha = (qr-p ^ 2) / (pr-q ^ 2) # і # alpha ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
тобто # (qr-p ^ 2) ^ 2 / (pr-q ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
або # (qr-p ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) (pr-q ^ 2) #
або # q ^ 2r ^ 2 + p ^ 4-2p ^ 2qr = p ^ 2qr-pq ^ 3-pr ^ 3 + q ^ 2r ^ 2 #
або # p ^ 4 + pq ^ 3 + pr ^ 3-3p ^ 2qr = 0 # і поділ на # p #
або # p ^ 3 + q ^ 3 + r ^ 3-3pqr = 0 #
тобто # (p + q + r) (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) = 0 #
Звідси теж # p + q + r = 0 # або # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #
Зауважте, що # alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = альфа / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
# alpha ^ 2 / (pq-r ^ 2) = альфа / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) = (альфа ^ 2 + альфа + 1) / (p ^ 2 + q ^) 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) #
і якщо # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #, ми маємо # alpha ^ 2 + alpha + 1 = 0 # тобто # p = q = r #
