Два супутника P_ "1" і P_ "2" обертаються на орбітах радіусів R і 4R. Співвідношення максимальних і мінімальних кутових швидкостей лінії, що з'єднує P_ "1" і P_ "2", є ??

Відповідь:

#-9/5#

Пояснення:

Згідно з третім законом Кеплера, # T ^ 2 propto R ^ 3 має на увазі омега propto R ^ {- 3/2} #, якщо кутова швидкість зовнішнього супутника є # omega #, що з внутрішнього є #omega раз (1/4) ^ {- 3/2} = 8 омега #.

Розглянемо # t = 0 # бути миттєвим, коли два супутники колінеарні з материнською планетою, і візьмемо цю загальну лінію як # X # осі. Потім координати двох планет в момент часу # t # є # (R cos (8omega t), R sin (8omega t)) # і # (4R cos (омега-т), 4R sin (омега-т)) #відповідно.

Дозволяє # theta # бути кутом лінії, що з'єднує два супутники, з # X # осі. Це легко побачити

#tan theta = (4R sin (омега-т) -Rsin (8 омега-т)) / (4R cos (омега-т) -Rcos (8 омега-т)) = (4 sin (омега-т) -сінь (8 омега-т)) / (4 cos (omega t) -cos (8 омега-т)) #

Диференціація врожаїв

# sec ^ 2 тета (d тета) / dt = d / dt (4 sin (омега-т) -син (8 омега-т)) / (4 cos (омега-т) -кос (8 омега-т)) #

# = (4 cos (omega t) -cos (8 омега-т)) ^ - 2 рази #

#qquad (4 cos (omega t) -cos (8 омега-т)) (4 омега-коду (омега-т) -8omega cos (8 омега-т)) - #

#qquad (4 sin (омега-т) -сінь (8 омега-т)) (- 4omega sin (omega t) +8 omega sin (8 омега-т)) #

Таким чином

# (4 cos (омега-т) -кос (8 омега-т)) ^ 2 1 + ((4 sin (омега-т) -син (8 омега-т)) / (4 cos (омега-т) -кос (8 омега) t))) ^ 2 (d тета) / dt #

# = 4 омега (4 cos ^ 2 (омега-т) -9 cos (омега-т) cos (8 омега-т) + 2 cos ^ 2 (омега-т)) #

#qquad qquad + (4 sin ^ 2 (омега-т) -9 sin (омега-т) cos (8 омега-т) + 2sin ^ 2 (омега-т)) #

# = 4 омега 6-9кос (7 омега т) означає #

# (17 -8 cos (7 omega t)) (d тета) / dt = 12 омега (2 - 3 cos (7 omega t)) має на увазі #

# (d тета) / dt = 12 омега (2 - 3 cos (7 омега т)) / (17 -8 cos (7 омега т)) екв.

Де функція

#f (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

має похідну

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

і, отже, монотонно зменшується в інтервалі #-1,1#.

Таким чином, кутова швидкість # (d theta) / dt # є максимальним, коли #cos (7 омега т) # мінімальний, і навпаки.

Тому, # ((the the)) / dt) _ "max" = 12 омеги (2 - 3 рази (-1)) / (17-8 разів (-1)) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 разів омега 5/25 = 12/5 омега #

# ((т theta) / dt) _ "min" = 12 омеги (2 - 3 рази 1) / (17-8 разів 1) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 разів омеги (-1) / 9 = -4/3 омега #

і, отже, співвідношення між ними:

# 12/5 омега: -4/3 омега = -9: 5 #

Примітка Справа в тому, що # (d theta) / dt # Зміна знака є причиною так званого ретроградного руху