Покажіть, що всі полігональні послідовності, породжені серією арифметичних послідовностей з загальною різницею d, d в ZZ, є полігональними послідовностями, які можуть генеруватися a_n = a ^ 2 + bn + c?

Відповідь:

# a_n = P_n ^ (d + 2) = ^ 2 + b ^ n + c #

с # a = d / 2; b = (2-d) / 2; c = 0 #

# P_n ^ (d + 2) # є багатокутним рядком рангу, # r = d + 2 #

Приклад заданої арифметичної послідовності пропускає підрахунок на # d = 3 #

Ви будете мати #color (червоний) (п'ятикутний) # послідовність:

# P_n ^ колір (червоний) 5 = 3 / 2n ^ 2-1 / 2n # дарування # P_n ^ 5 = {1, колір (червоний) 5, 12, 22,35,51, cdots} #

Пояснення:

Полігональна послідовність побудована шляхом прийняття # nth # сума арифметичної послідовності. У обчисленні це буде інтеграція.

Отже, ключовою гіпотезою є:

Оскільки арифметична послідовність є лінійною (думаю, лінійне рівняння), то інтегрування лінійної послідовності призведе до поліноміальної послідовності ступеня 2. t

Тепер, щоб показати це справа

Почати з природної послідовності (пропустити підрахунок, починаючи з 1)

#a_n = {1, 2,3,4, cdots, n} #

знайдемо n-ту суму #S_n = sum_i ^ (i = n) a_n #

# S_1 = 1; S_2 = 3, S_3 = 6, cdots #

#S_n = (a_1 + a_n) / 2 n; #

# a_n # є арифметичною послідовністю з

# a_n = a_1 + d (n-1); a_1 = 1; d = 1 #

#S_n = (1 + a_n) / 2 n = (1 + 1 + (n-1)) / 2n = n (n + 1) / 2 #

#S_n = P_n ^ 3 = {1, 3, 6, 10, cdots, (1 / 2n ^ 2 + 1 / 2n)} #

Так з d = 1 послідовність має форму # P_n ^ 3 = ^ 2 + bn + c #

с #a = 1/2; b = 1/2; c = 0 #

Тепер узагальнимо для довільного пропуску лічильника #color (червоний) d #, # color (червоний) d у кольорі (синій) ZZ # і # a_1 = 1 #:

# P_n ^ (d + 2) = S_n = (a_1 + a_1 + колір (червоний) d (n-1)) / 2 n #

# P_n ^ (d + 2) = (2 + колір (червоний) d (n-1)) / 2 n #

# P_n ^ (d + 2) = колір (червоний) d / 2n ^ 2 + (2-колір (червоний) d) n / 2 #

Це загальна форма # P_n ^ (d + 2) = ^ 2 + bn + c #

с # a = колір (червоний) d / 2; b = (2-колір (червоний) d) / 2; c = 0 #