Що таке кватерніони?

Відповідь:

Своєрідне число, для якого множення взагалі не комутативно.

Пояснення:

Реальні числа (# RR #) може бути представлена лінією - одномірним простором.

Комплексні числа (# CC #) може бути представлена площиною - двовимірним простором.

Кватерніони (H) може бути представлена чотиривимірним простором.

У звичайних арифметичних числах відповідають наступні правила:

Додавання

Ідентичність: #EE 0: AA a: a + 0 = 0 + a = a #

Обернено: #AA a EE (-a): a + (-a) = (-a) + a = 0 #

Асоціативність: #AA a, b, c: (a + b) + c = a + (b + c) #

Комутативність: #AA a, b: a + b = b + a #

Множення

Ідентичність: #EE 1: AA a: a * 1 = 1 * a = a #

Інверсія ненульового: #AA a! = 0 EE 1 / a: a * 1 / a = 1 / a * a = 1 #

Асоціативність: #AA a, b, c: (a * b) * c = a * (b * c) #

Комутативність: #color (червоний) (AA a, b: a * b = b * a) #

Разом

Розповсюдження: # {(a * (b + c) = (a * b) + (a * c)), ((a + b) * c = (a * c) + (b * c)):} #

#color (білий) () #

Ці правила працюють для множини раціональних чисел # QQ #, набір Реальних чисел # RR # і комплексні числа # CC # і визначити, що називається a поля - набір, оснащений операціями додавання і множення, що задовольняють цим правилам.

Кватерніони (H) є те, що називається a косою поле або алгебра асоціативного поділу - набір, оснащений операціями додавання і множення, що задовольняє всім цим умовам, за винятком комутативності множення.

Бути також a #4# Розмірний векторний простір над Reals, вони є найбільшою асоціативною алгеброю поділу над Reals, єдиними іншими двома істотами # RR # і # CC #.

Окрім осі Real, одиниці на інших трьох осях називаються # i #, # j # і # k #. Вони всі квадратні коріння #-1#.

Ці три уявні одиниці задовольняють наступним умовам:

#ij = k #

#jk = i #

#ki = j #

#ji = -k #

#kj = -i #

#ik = -j #

Кватерніони можуть бути представлені # 2xx2 # матриці з комплексними значеннями або за # 4xx4 # матриці з реальними значеннями.

Вони мають застосування в механіці та теоретичній фізиці.

#color (білий) () #

Примітка

Зверніть увагу, що я сказав асоціативно алгебра поділу. За межами кватерніонів є навіть незнайомі Октоніони, які відкидають вимогу, щоб множення було асоціативним.