Вирішуючи це за допомогою інтеграла riemann?

Відповідь:

# frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # або #, приблизно 1.302054638 … #

Пояснення:

Найбільш важливою ідентичністю для вирішення будь-якої проблеми з нескінченним продуктом є перетворення її в проблему нескінченних сум:

prod_ {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

НАГЛЯД:

# = exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Але, перш ніж ми зможемо це зробити, спочатку треба мати справу з # frac {1} {n ^ 2} в рівнянні і btw назвемо нескінченним продуктом L:

# L = lim_ {n + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ {frac {1} {n}} #

# = lim_ {n + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n}} #

# = lim_ {n + infty} frac {n ^ 2} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2)) ^ {frac {1} {n}} = lim_ {n + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n}} #

Тепер ми можемо перетворити це на нескінченну суму:

# L = lim_ {n + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n} } = lim_ {n + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln ((1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n}}) #

застосувати властивості логарифму:

# L = lim_ {n + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2) }) #

І використовуючи властивості ліміту:

# L = exp lim_ {n + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Назвемо нескінченну суму S:

# S = lim_ {n + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

І майте на увазі, що

# L = exp (S) #

Тепер давайте вирішимо ваше питання, перетворивши його з RIEMANN SUM до a DEFINITE INTEGRAL:

Нагадаємо, визначення суми Рімана:

НАГЛЯД:

int_ {a} ^ {b} f (x) dx = lim_ {n + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n) frac {ba} {n} #

Дозволяє

# lim_ {n + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n})) * frac {ba} {n} = lim_ {n + + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = S #

Тепер, нехай # f (x) = ln (1 + x ^ 2) і a = 0 #

# f (k (frac {b} {n})) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Таким чином, b = 1, тобто

# f (frac {k} {n}) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Тому,

# S = lim_ {n + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Вирішіть на # int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

використовувати інтеграцію за частинами:

# int uv dx = u int v dx - int (u '* int vdx) dx #.

Дозволяє # u = ln (1 + x ^ 2) і v = 1 #

Потім скористайтеся правилом ланцюга і похідною натурального логарифма, щоб отримати # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2} #

і використовувати правило влади, щоб отримати: # 1dx = x #

int ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - int (frac {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx #

# = ln (1 + x ^ 2) * x - f _ fx {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx # t

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 d fx {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 f _ _ fx {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx # t Використовувати правило вирахування:

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 ГРП {х ^ 2 + 1} {х ^ 2 + 1} - ГРП {1} {х ^ 2 + 1} дх #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

Правило використання потужності для першого інтеграла і другого інтеграла є стандартною тригонометричною функцією # arctan (x) # (обернена функція дотичної)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

Таким чином, # ln (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Тепер вирішимо для певного інтеграла:

# S = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

ми знаємо, що анти-похідна є # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #, Таким чином

# S = F (x) | _ {x = 0} ^ {x = 1} = F (1) - F (0) #

#S = 1ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arctan (1) - 0 + 0 - arctan (0) #

Відзначимо, що arctan (1) становить 45 ° або # frac {pi} {4} # (нагадаємо про спеціальний прямокутний трикутник з довжиною сторони 1,1, #. sqrt {2} # і кути 45 °, 45 °, 90 °), а також # arctan (0) = 0 #

Таким чином #S = ln (2) - 2 + 2 (frac {pi} {4}) = ln (2) - 2 + frac {pi} {2} #

або # приблизно 0,263943507354 … #

# L = exp S = exp ln (2) - 2 + frac {pi} {2} = e ^ {ln (2)} * e ^ {- 2} * e ^ {{frac { pi} {2}} #

# L = 2 * frac {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #

# L = frac {2, sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #

Тому рішення є # lim_ {n + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ {frac {1} {n }} = frac {2, sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # або #, приблизно 1.302054638 … #