Відповідь:
Дивіться нижче.
Пояснення:
(i) Як ми # a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #, що означає суму квадратів двох сторін # a # і # b # дорівнює квадрату на третій стороні # c #. Отже, # / _ C # протилежний бік # c # буде під прямим кутом.
Припустимо, це не так, потім намалюйте перпендикуляр від # A # до # BC #, нехай буде # C '#. Тепер за теоремою Піфагора, # a ^ 2 + b ^ 2 = (AC ') ^ 2 #. Отже, # AC '= c = AC #. Але це неможливо. Отже, # / _ ACB # є прямим кутом і #Delta ABC # - прямокутний трикутник.
Нагадаємо, косинусна формула для трикутників, яка стверджує, що # c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2abcosC #.
(ii) Як діапазон # / _ C # є # 0 ^ @ <C <180 ^ @ #, якщо # / _ C # є тупим # cosC # є негативним і отже # c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab | cosC | #. Отже, # a ^ 2 + b ^ 2 <c ^ 2 # засоби # / _ C # є тупим.
Використовуємо теорему Піфагора для перевірки та малювання # DeltaABC # с # / _ C> 90 ^ @ # і нічия # AO # перпендикулярний по витягнутому # BC # як показано. Тепер за теоремою Піфагора
# a ^ 2 + b ^ 2 = BC ^ 2 + AC ^ 2 #
= # (BO-OC) ^ 2 + AC ^ 2 #
= # BO ^ 2 + OC ^ 2-2BOxxCO + AO ^ 2 + OC ^ 2 #
= # BO ^ 2 + AO ^ 2-2OC (BO-OC) #
= # AB ^ 2-2OCxxBC = c ^ 2-OCxxBC #
Звідси # a ^ 2 + b ^ 2 <c ^ 2 #
(iii) і якщо # / _ C # є гострим # cosC # є позитивним і, отже, # c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2ab | cosC | #. Отже, # a ^ 2 + b ^ 2> c ^ 2 # засоби # / _ C # є гострим.
Знову ж таки, використовуючи теорему Піфагора, перевірте це, намалюйте # DeltaABC # с # / _ C <90 ^ @ # і нічия # AO # перпендикулярно # BC # як показано. Тепер за теоремою Піфагора
# a ^ 2 + b ^ 2 = BC ^ 2 + AC ^ 2 #
= # (BO + OC) ^ 2 + AO ^ 2 + OC ^ 2 #
= # BO ^ 2 + OC ^ 2 + 2BOxxCO + AO ^ 2 + OC ^ 2 #
= # AB ^ 2 + 2OC (CO + OB) #
= # c ^ 2 + 2axxOC #
Звідси # a ^ 2 + b ^ 2> c ^ 2 #
