Що робить sqrt (3 + i) рівним у + bi формі?

Відповідь:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

Припустимо # (a + bi) ^ 2 = 3 + i #

# (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2)

Таким чином, прирівнюючи реальні та уявні частини, отримуємо:

# a ^ 2-b ^ 2 = 3 #

# 2ab = 1 #

Звідси #b = 1 / (2a) #, яку ми можемо замінити на перше рівняння, щоб отримати:

# 3 = a ^ 2- (1 / (2a)) ^ 2 = a ^ 2-1 / (4a ^ 2) #

Помножте обидва кінці на # 4a ^ 2 # отримати:

# 12 (a ^ 2) = 4 (a ^ 2) ^ 2-1 #

Тому:

# 4 (a ^ 2) ^ 2-12 (a ^ 2) -1 = 0 #

З квадратичної формули ми отримуємо:

# a ^ 2 = (12 + -sqrt (12 ^ 2 + 16)) / 8 = (12 + -sqrt (160)) / 8 = (3 + -sqrt (10)) / 2 #

З #sqrt (10)> 3 #, виберіть #+# знак, щоб отримати реальні значення для # a #:

#a = + -sqrt ((sqrt (10) +3) / 2) #

#b = + -sqrt (a ^ 2-3) = + -sqrt ((sqrt (10) -3) / 2) #

де # b # має той же знак, що і # a # з #b = 1 / (2a) #

Головний квадратний корінь знаходиться в Q1 з #a, b> 0 #

Це:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

Насправді, якщо #c, d> 0 # тоді ми можемо аналогічно показати:

#sqrt (c + di) = (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) + c) / 2)) + (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) -c) / 2)) i #