Вирішіть для x в RR рівняння sqrt (x + 3-4sqrt (x-1)) + sqrt (x + 8-6sqrt (x-1)) = 1?

Відповідь:

#x у 5, 10 #

Пояснення:

Дозволяє # u = x-1 #. Потім ми можемо переписати ліву частину рівняння як

#sqrt (u + 4-4sqrt (u)) + sqrt (u + 9-6sqrt (u)) #

# = sqrt ((sqrt (u) -2) ^ 2) + sqrt ((sqrt (u) -3) ^ 2) #

# = | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | #

Зверніть увагу на наявність #sqrt (u) # в рівнянні і що ми тільки шукаємо реальні значення, тому маємо обмеження #u> = 0 #. Тепер ми розглянемо всі інші випадки:

Випадок 1: # 0 <= u <= 4 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => 2-sqrt (u) + 3-sqrt (2) = 1 #

# => -2sqrt (u) = -4 #

# => sqrt (u) = 2 #

# => u = 4 #

Таким чином # u = 4 # є єдиним рішенням в інтервалі #0, 4#

Випадок 2: # 4 <= u <= 9 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) -2 + 3 - sqrt (u) = 1 #

#=> 1=1#

Оскільки це тавтологія, кожне значення в Росії #4, 9# є рішенням.

Випадок 3: #u> = 9 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) - 2 + sqrt (u) - 3 = 1 #

# => 2sqrt (u) = 6 #

# => sqrt (u) = 3 #

# => u = 9 #

Таким чином #u = 9 # є єдиним рішенням в інтервалі # 9, oo) #

Взяті разом, у нас є #4, 9# як рішення задається для реальних значень # u #. Підставляючи в #x = u + 1 #, ми приходимо до остаточного набору рішень #x у 5, 10 #

Дивлячись на графік лівої сторони, це відповідає тому, що ми очікуємо: