Як знайти область, обмежену кривими y = -4sin (x) і y = sin (2x) протягом закритого інтервалу від 0 до pi?

Відповідь:

Оцінити

# int_0 ^ π | -4sin (x) -sin (2x) | dx #

Площа: #8#

Пояснення:

Область між двома безперервними функціями #f (x) # і #g (x) # над #x у a, b # є:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

Тому ми повинні знайти, коли #f (x)> g (x) #

Нехай криві будуть функціями:

#f (x) = - 4sin (x) #

#g (x) = sin (2x) #

#f (x)> g (x) #

# -4sin (x)> sin (2x) #

Знаючи це #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #

# -4sin (x)> 2sin (x) cos (x) #

Розділіть на #2# що є позитивним:

# -2sin (x)> sin (x) cos (x) #

Розділіть на # sinx # не змінюючи знак, оскільки #sinx> 0 # для кожного #x у (0, π) #

# -2> cos (x) #

Що неможливо, оскільки:

# -1 <= cos (x) <= 1 #

Отже, початкове твердження не може бути істинним. Тому, #f (x) <= g (x) # для кожного #x у 0, π #

Розраховується інтеграл:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

# int_0 ^ π (g (x) -f (x)) dx #

# int_0 ^ π (sin (2x) - (- 4sin (x))) dx #

# int_0 ^ π (sin (2x) + 4sin (x)) dx #

# int_0 ^ πsin (2x) dx + 4int_0 ^ πsin (x) #

# -1 / 2 cos (2x) _ 0 ^ π-4 cos (x) _ 0 ^ π #

# -1 / 2 (cos2π-cos0) -4 (cosπ-cos0) #

#1/2*(1-1)-4*(-1-1)#

#8#