Добре, по-перше, у вас є # x-1 #, # x + 1 #, і # x ^ 2-1 # як знаменник у вашому питанні. Таким чином, я візьму це як питання неявно припускає це #x! = 1 або -1. Це насправді дуже важливо.
Давайте об'єднаємо дроби праворуч у одну дробу, # x / (x-1) + 4 / (x + 1) = (x (x + 1)) / ((x-1) (x + 1)) + (4 (x-1)) / ((x-1) (x + 1)) = (x ^ 2 + x + 4x - 4) / (x ^ 2-1) = (x ^ 2 + 5x -4) / (x ^ 2 -1) #
Ось, зверніть увагу # (x-1) (x + 1) = x ^ 2 - 1 # від різниці двох квадратів.
Ми маємо:
# (x ^ 2 + 5x -4) / (x ^ 2 -1) = (4x-2) / (x ^ 2-1) #
Скасувати знаменник (помножити обидві сторони на # x ^ 2-1 #), # x ^ 2 + 5x -4 = 4x-2 #
Зверніть увагу, що цей крок можливий лише завдяки нашому припущенню на початку. Скасування # (x ^ 2-1) / (x ^ 2-1) = 1 # дійсний лише для # x ^ 2-1! = 0 #.
# x ^ 2 + x -2 = 0 #
Можна факторизувати це квадратичне рівняння:
# x ^ 2 + x - 2 = (x - 1) (x + 2) = 0 #
І, таким чином, #x = 1 #або #x = -2 #.
Але ми ще не закінчили. Це рішення для квадратичне рівняння, але не рівняння в питанні.
В цьому випадку, #x = 1 # є сторонній розчин, що є додатковим рішенням, яке генерується тим, як ми вирішуємо нашу проблему, але не є фактичним рішенням.
Отже, ми відкидаємо #x = 1 #, з нашого припущення раніше.
Тому, #x = -2 #.
