Як ви знайдете int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx, використовуючи часткові частки?

Відповідь:

Ви намагаєтеся розділити раціональну функцію на суму, яку буде дуже легко інтегрувати.

Пояснення:

Поперше: # x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1) #.

Декомпозиція часткової фракції дозволяє зробити це:

# (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = (x + 1) / (x (x-1) (x + 1)) = 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) # с # a, b у RR # що ви повинні знайти.

Щоб знайти їх, потрібно помножити обидві сторони на один з поліномів ліворуч від рівності. Я покажу вам один приклад, інший коефіцієнт можна знайти таким же чином.

Ми знайдемо # a #: ми повинні помножити все на # x # щоб зникнути інший коефіцієнт.

# 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1), якщо 1 / (x-1) = a + (bx) / (x-1) #.

#x = 0, якщо -1 = a #

Ви робите те ж саме, щоб знайти # b # (Ви множите все # (x-1) # потім ви виберете #x = 1 #), і ви дізнаєтеся про це #b = 1 #.

Тому # (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = 1 / (x-1) - 1 / x #, що випливає з цього #int (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) dx = int (1 / (x-1) - 1 / x) dx = intdx / (x-1) - intdx / x = lnabs (x-1) - lnabsx #