Відповідь:
# x = arctan (-3) + 180 ^ circ k або x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k quad # для цілого числа # k. #
Пояснення:
Я працював над цим двома різними способами, але я вважаю, що цей третій шлях найкращий. Існує кілька подвійних формул для косинуса. Давайте не будемо спокушатися будь-яким з них. Не будемо також уникати квадратних рівнянь.
#cos 2x + 2 sin 2x + 2 = 0 #
#cos 2x + 2 sin 2x = -2 #
Лінійна комбінація косинуса і синуса є косинусом, зрушеним у фазі.
Дозволяє # r = sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} # і
# theta = текст {Arc} текст {tan} (2/1) #
Я вказав головний зворотний дотичний, тут, у першому квадранті, навколо # theta = 63.4 ^ circ #. Ми впевнені
#r cos theta = sqrt {5} (1 / sqrt {5}) = 1 #
# r sin theta = sqrt {5} (2 / sqrt {5}) = 2 #
Тому ми можемо переписати наше рівняння
#sqrt {5} ((1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x) = -2 #
# (1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x = -2 / sqrt {5} #
# cos 2x cos тета + sin 2x sin theta = -2 / sqrt {5} #
#cos (2x - тета) = sin (-тета) #
#cos (2x - тета) = cos (90 ^ circ + тета) #
Завжди пам'ятайте загальне рішення #cos x = cos a # є # x = pm a + 360 ^ quad quad # для цілого числа # k #.
# 2x - тета = pm (90 ^ цир + тета) + 360 ^ circ k #
# 2x = theta pm (90 ^ Cir + Тета) + 360 ^ circ k #
# x = theta / 2 pm (45 ^ Cir + тета / 2) + 180 ^ circ k #
Приймаючи знаки по одному, # x = тета + 45 ^ circ + 180 ^ circ або x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
#phi = theta + 45 ^ circ # є постійною, ми можемо спробувати отримати кращий вираз для:
#tan (phi) = загар (arctan (2) + 45 ^ circ) #
# = {tan arctan (2) + tan (45 ^ circ)} / {- tan (arctan (2)) tan (45 ^ circ)} = {2 + 1} / {1 - 2} = -3
Ми знаємо # phi # знаходиться у другому квадранті, а не в звичайному діапазоні головного значення.
#phi = текст {Arc} текст {tan} (- 3) + 180 ^ circ #
Це виявляється не важливим, тому що ми додаємо # 180 ^ circ k # до # phi # у загальному рішенні. Всі разом
# x = arctan (-3) + 180 ^ circ k або x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
Ми не повинні бути дбайливими щодо головної цінності арктану; оскільки ми додаємо # 180 ^ circ k # будь-яке значення буде робити. Ми могли б написати перше # x = arctan (-3) # з # 180 ^ circ k # мається на увазі, але давайте залишимо його тут.
