Відповідь:
Я не думаю, що рівняння є дійсним. Я припускаю #abs (z) # є функцією абсолютної величини
Пояснення:
Спробуйте з двома термінами, # z_1 = -1, z_2 = 3 #
#abs (z_1 + z_2) = abs (-1 + 3) = abs (2) = 2 #
#abs (z_1) + abs (z_2) = abs (-1) + abs (3) = 1 + 3 = 4 #
Звідси
#abs (z_1 + z_2)! = abs (z_1) + abs (z_2) #
#abs (z_1 + … + z_n)! = abs (z_1) + … + abs (z_n) #
Можливо, ви маєте на увазі нерівність трикутника для комплексних чисел:
# | z_1 + z_2 + … + z_ n | le | z_1 | + | z_2 | + … + | z_n | #
Ми можемо скоротити це
# | сума z_i | le sum | z_i | #
де суми #sum_ {i = 1} ^ n #
Лема. # text {Re} (z) le | z | #
Реальна частина ніколи не перевищує величину. Дозволяє # z = x + iy # для деяких реальних # x # і # y #. Ясно # x ^ 2 le x ^ 2 + y ^ 2 # і займаючи квадратні коріння # x le sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #. Величина завжди позитивна; # x # може бути або не бути; в будь-якому випадку це ніколи не більше, ніж величина.
Я буду використовувати overbar для кон'югату. Тут ми маємо дійсне число, квадратичну величину, що дорівнює добутку сполучених.Хитрість полягає в тому, що вона дорівнює своїй реальній частині. Реальна частина суми - це сума дійсних частин.
# | сума z_i | ^ 2 = sum_i z_i bar (sum_j z_j) = текст {Re} (sum_i z_i bar (sum_j z_j)) = sum_i текст {Re} (z_i bar (sum_j z_j)) #
За нашою лемою, а величина продукту - добуток величин, а величина кон'югатів однакова,
# | сума z_i | ^ 2 le sum_i | z_i bar (сума_j z_j) | = sum_i | z_i | | бар (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | sum_j z_j | #
Ми можемо скасувати один фактор величини суми # | сума z_i | #, що є позитивним, зберігаючи нерівність.
# | сума z_i | le sum | z_i | #
Ось що ми хотіли довести.
