Марс має середню температуру поверхні близько 200K. Плутон має середню температуру поверхні близько 40К. Яка планета викидає більше енергії на квадратний метр площі поверхні в секунду? Наскільки це?

Відповідь:

Марс випромінює #625# разів більше енергії на одиницю площі поверхні, ніж Плутон.

Пояснення:

Очевидно, що більш гарячий об'єкт буде випромінювати більше випромінювання чорного тіла. Таким чином, ми вже знаємо, що Марс буде виділяти більше енергії, ніж Плутон. Питання лише в тому, скільки.

Ця проблема вимагає оцінки енергії випромінювання чорного тіла, випромінюваного обома планетами. Ця енергія описується як функція температури і випромінюваної частоти:

#E (nu, T) = (2pi ^ 2 nu) / c (h nu) / (e ^ ((hnu) / (kT)) - 1) #

Інтеграція по частоті дає загальну потужність на одиницю площі як функцію температури:

# int_0 ^ infty E (nu, T) = (pi ^ 2c (kT) ^ 4) / (60 (бар)) 3) #

(зверніть увагу, що вищевказане рівняння використовує # barh #, зменшена постійна Планка, а не # h #. Важко читати в нотації Сократа)

Вирішуючи співвідношення між двома, то результат неймовірно простий. Якщо # T_p # є температура Плутона і # T_m # це температура Марса, то фактор # a # можна обчислити за допомогою:

# (pi ^ 2c (kT_m) ^ 4) / (60 (бар)) 3) = a (pi ^ 2c (kT_p) ^ 4) / (60 (барч) ^ 3) #

#cancel (pi ^ 2ck ^ 4) / скасувати (60 (barhc) ^ 3) T_m ^ 4 = acancel (pi ^ 2ck ^ 4) / скасувати (60 (barhc) ^ 3) T_p ^ 4 #

# (T_m / T_p) ^ 4 = a = (200/40) ^ 4 = 5 ^ 4 = 625 # разів