Відповідь:
Ви вже відповіли тут.
Пояснення:
Потрібно спочатку знайти # sin18 ^ @ #, про які можна ознайомитися тут.
Тоді ви можете отримати # cos36 ^ @ # як показано тут.
Відповідь:
Ми вирішуємо #cos (2 тета) = cos (3 тета) # або # 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x # для # x = cos 144 ^ circ # і отримати #cos 36 ^ circ = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}).
Пояснення:
Ми отримуємо #cos 36 ^ circ # м'яко опосередковано від подвійної і потрійної формули для косинуса. Це дуже здорово, як це робиться, і має дивовижний кінець.
Ми зосередимося на цьому #cos 72 ^ circ #. Кут # theta = 72 ^ circ # задовольняє
#cos (2 тета) = cos (3 тета).
Давайте вирішимо це для # theta #, згадуючи #cos x = cos a # має рішення #x = pm a + 360 ^ circ k. #
# 2 theta = pm 3 theta + 360 ^ circ k #
# 5 theta = 360 ^ circ k # або # -тета = 360 ^ circ k #
#theta = 72 ^ circ k #
Це включає в себе # 360 ^ circ k # щоб ми могли відкинути частину "або".
Я не пишу таємницю тут (незважаючи на несподівану закінчення), тому згадаю про це #cos (2 (72 ^ circ)) = cos (144 ^ circ) = - cos (36 ^ circ) # також є правильним рішенням і ми бачимо, як це пов'язано з цим питанням.
#cos (2 тета) = cos (3 тета) #
# 2 cos ^ 2 theta -1 = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #
Тепер нехай # x = cos theta #
# 2 x ^ 2 -1 = 4 x ^ 3 - 3 x #
# 4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x +1 = 0 #
Ми знаємо # x = cos (0: 72 ^ circ) = 1 # це рішення # (x-1) # є фактором:
# (x - 1) (4 x ^ 2 + 2x - 1) = 0 #
Квадратичні коріння
#x = 1/4 (-1 pm sqrt {5}) #
Позитивним має бути #cos 72 ^ circ # і негативний #cos 144 ^ circ #.
#cos 144 ^ circ = 1/4 (-1 - sqrt {5}) #
#cos 36 ^ circ = cos (180 ^ circ - 144 ^ circ) = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}) #
Це відповідь. Сюрприз - це половина Золотого співвідношення!
