Довести: 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x)? - Тригонометрія 2024

Щоб довести # 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Дозволяє # cos ^ -1x = тета #

# => x = costheta #

Тепер # LHS = 3тета #

# = cos ^ -1cos (3theta) #

# = cos ^ -1 (4cos ^ 3theta-3costheta) #

# = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Показати

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 -3 x) #

Іноді трохи менше, ніж ми робимо математику, і більше про визнання математики, коли ми її бачимо. Тут ми визнаємо # 4x ^ 3 -3x # як косинусна формула потрійного кута, # cos (3 ата) # коли # x = cos.

Factoid: # 4x ^ 3-3x # також називається # T_3 (x) #, третій Полином Чебишева першого роду. Загалом, # cos (nx) = T_n (cos x).

Припустимо # arccos # відноситься до основної вартості. Я вважаю за краще викликати директора #text {Arc} текст {cos} # але це важче вводити.

Досить фон. Після того, як ми визнали формулу потрійного кута, доказ легко.

Доказ:

Дозволяє #theta = arccos x. #

# x = cos theta #

# cos 3 тета = 4 cos ^ 3 тета - 3 cos theta #

# cos 3 (arccos x) = 4x ^ 3 - 3 x #

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 - 3x) quad sqrt #

Покажіть, що cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Я трохи заплутаний, якщо я зробив Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), він стане негативним, оскільки cos (180 ° -тета) = - costheta в другий квадрант. Як я можу довести це питання?

Дивіться нижче. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Якщо 2sin тета + 3cos тета = 2 довести, що 3sin тета - 2 cos тета = ± 3?

Дивіться нижче. З урахуванням rarr2sinx + 3cosx = 2 rarr2sinx = 2-3cosx rarr (2sinx) ^ 2 = (2-3cosx) ^ 2 rarr4sin ^ 2x = 4-6cosx + 9cos ^ 2x rarrcancel (4) -4cos ^ 2x = скасувати (4) - 6cosx + 9cos ^ 2x rarr13cos ^ 2x-6cosx = 0 rarrcosx (13cosx-6) = 0 rarrcosx = 0,6 / 13 rarrx = 90 ° Тепер, 3sinx-2cosx = 3sin90 ° -2cos90 ° = 3

Як довести, що sqrt (3) cos (x + pi / 6) - cos (x + pi / 3) = cos (x) -sqrt3sinx?

LHS = sqrt3cos (x + pi / 6) -cos (x-pi / 3) = sqrt3 [cosx * cos (pi / 6) -sinx * sin (pi / 6)] - [cosx * cos (pi / 3) -sinx * sin (pi / 3)] = sqrt3 [cosx * (sqrt3 / 2) -sinx * (1/2)] - [cosx * (1/2) -sinx * (sqrt3 / 2)] = (3кос. -sqrt3sinx) / 2- (cosx-sqrt3sinx) / 2 = (3cosx-sqrt3sinx-cosx + sqrt3sinx) / 2 = (2cosx) / 2 = cosx = RHS