Як вирішити 1 = cot ^ 2 x + csc x?

Відповідь:

#x = (- 1) ^ k (-pi / 6) + kpi #

для #k у ZZ #

Пояснення:

# cot ^ 2x + cscx = 1 #

Використовувати ідентифікацію: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

# => ліжечко ^ 2x + 1 = csc ^ 2x #

# => ліжечко ^ 2x = csc ^ 2x-1 #

Замініть це на початкове рівняння, # csc ^ 2x-1 + cscx = 1 #

# => csc ^ 2x + cscx-2 = 0 #

Це квадратичне рівняння в змінній # cscx # Отже, можна застосувати квадратичну формулу, #csx = (- 1 + -sqrt (1 + 8)) / 2 #

# => cscx = (- 1 + -3) / 2 #

Випадок #(1):#

#cscx = (- 1 + 3) / 2 = 1 #

Пам'ятайте, що: # cscx = 1 / sinx #

# => 1 / sin (x) = 1 => sin (x) = 1 => x = pi / 2 #

Загальне рішення (1): #x = (- 1) ^ n (pi / 2) + npi #

Ми повинні відкинути (знехтувати) ці значення, оскільки # cot # Функція не визначена для кратних # pi / 2 # !

Випадок #(2):#

#cscx = (- 1-3) / 2 = -2 #

# => 1 / sin (x) = - 2 => sin (x) = - 1/2 => x = -pi / 6 #

Загальне рішення (2): #x = (- 1) ^ k (-pi / 6) + kpi #

Відповідь:

Вирішіть ліжечко ^ 2 x + csc x = 1

Відповідь: # (pi) / 2; (7pi) / 6 і (11pi) / 6 #

Пояснення:

# cos ^ 2 x / sin ^ 2 x + 1 / sin x = 1 #

# cos ^ 2 x + sin x = sin ^ 2 x #

# (1 - sin ^ 2 x) + sin x = sin ^ 2 x #

# 2sin ^ 2 x - sin x - 1 = 0 -> 2t ^ 2 - t - 1 = 0 # - Виклик sin x = t

Оскільки a + b + c = 0, використовуйте ярлик: 2 реальні корені:

t = 1 і #t = -1 / 2 #

a. t = sin x = 1 -> #x = pi / 2 #

b. #sin x = - 1/2 # --> #x = (7pi) / 6 # і #x = (11pi) / 6 #