Відповідь:
# dy / dx = -20 / 21 #
Пояснення:
Вам потрібно знати основи неявної диференціації для цієї проблеми.
Відомо, що нахил дотичної лінії в точці є похідною; тому першим кроком буде прийняття похідної. Давайте зробимо це по частинах, починаючи з:
# d / dx (3y ^ 2) #
Цей не надто важкий; потрібно просто застосувати правило ланцюга та правило влади:
# d / dx (3y ^ 2) #
# -> 2 * 3 * y * dy / dx #
# = 6ydy / dx #
Тепер, на # 4xy #. Для цього нам знадобляться правила влади, ланцюга та продукту:
# d / dx (4xy) #
# -> 4d / dx (xy) #
# = 4 ((x) '(y) + (x) (y)') -> # Правило продукту: # d / dx (uv) = u'v + uv '#
# = 4 (y + xdy / dx) #
# = 4y + 4xdy / dx #
Добре, нарешті # x ^ 2y # (більше правил продукту, потужності та ланцюга):
# d / dx (x ^ 2y) #
# = (x ^ 2) '(y) + (x ^ 2) (y)' #
# = 2xy + x ^ 2dy / dx #
Тепер, коли ми знайшли всі наші похідні, ми можемо висловити цю проблему як:
# d / dx (3y ^ 2 + 4xy + x ^ 2y) = d / dx (C) #
# -> 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2dy / dx = 0 #
(Пам'ятайте про похідну константи #0#).
Тепер ми збираємо умови з # dy / dx # на одній стороні і перенести все інше на інше:
# 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2dy / dx = 0 #
# -> 6ydy / dx + 4xdy / dx + x ^ 2dy / dx = - (4y + 2xy) #
# -> dy / dx (6y + 4x + x ^ 2) = - (4y + 2xy) #
# -> dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #
Все, що потрібно зробити, це підключити #(2,5)# знайти відповідь:
# dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #
# dy / dx = - (4 (5) +2 (2) (5)) / (6 (5) +4 (2) + (2) ^ 2) #
# dy / dx = - (20 + 20) / (30 + 8 + 4) #
# dy / dx = - (40) / (42) = - 20/21 #
