Що таке межа, коли х наближається до нескінченності (ln (x)) ^ (1 / x)?

Це досить просто. Ви повинні використовувати той факт, що

#ln (x) = e ^ (ln (ln (x))) #

Тоді ви знаєте це

#ln (x) ^ (1 / x) = e ^ (ln (ln (x)) / x) #

І тоді відбувається цікава частина, яку можна вирішити двома способами - з використанням інтуїції та використання математики.

Почнемо з інтуїтивної частини.

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = lim_ (n-> infty) e ^ (("щось менше, ніж x") / x) = e ^ 0 = 1 #

Давайте подумаємо, чому це так?

Завдяки безперервності # e ^ x # функція, яку ми можемо перемістити:

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) #

Щоб оцінити цю межу #lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) #ми можемо використовувати правило l l'Hospital:

#lim_ (n-> infty) (f (x) / g (x)) = lim_ (n-> infty) ((f '(x)) / (g' (x))) #

Тому, коли ми будемо рахувати похідні, отримуємо:

#lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) = lim_ (n-> infty) (1 / (xln (x))) #

Як похідні є # 1 / (xln (x)) # для номінатора і #1# для знаменника.

Цей ліміт легко обчислити, як він є # 1 / infty # вид ліміту, який дорівнює нулю.

Тому ви бачите це

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) = e ^ 0 = 1 #

А це означає, що #lim_ (n-> infty) ln (x) ^ 1 / x = 1 # так само.