Який метод розширення кофактора знаходить детермінант?

Привіт !

Дозволяє #A = (a_ {i, j}) # бути матрицею розміру # n.

Виберіть стовпець: номер стовпця # j_0 # (Пишу: " # j_0 #-й стовпець ").

The формула розширення кофактора (або формулу Лапласа) для # j_0 #-й стовпчик

# (A) = sum_ {i = 1} ^ n a_ {i, j_0} (-1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} #

де # Delta_ {i, j_0} # є визначником матриці # A # без її # i #-й лінії і її # j_0 #-й стовпець; тому, # Delta_ {i, j_0} # є визначником розміру # (n-1) (n-1) #.

Зверніть увагу, що число # (- 1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} # це називається кофактор місця # (i, j_0) #.

Можливо, це виглядає складним, але легко зрозуміти з прикладом. Ми хочемо розрахувати # D #:

Якщо ми розробляємо на 2-й стовпці, ви отримуєте

тому:

Нарешті, # D = 0 #.

Щоб бути ефективним, ви повинні вибрати лінію, яка має багато нулів: сума буде дуже проста для розрахунку!

Примітка. Оскільки # (A) = det (A ^ {T}) #Ви також можете вибрати рядок, а не стовпець. Отже, формула стає

# (A) = sum_ {j = 1} ^ n a_ {i_0, j} (-1) ^ {i_0 + j} Delta_ {i_0, j} #

де # i_0 # - номер вибраної лінії.