Доведіть, що елемент цілісної області є одиницею, якщо вона генерує домен.

Відповідь:

Твердження є помилковим.

Пояснення:

Розглянемо кільце номерів форми:

# a + bsqrt (2) #

де #a, b у QQ #

Це комутативне кільце з мультиплікативною ідентичністю #1 != 0# і ніяких дільників нуля. Тобто вона є цілісною областю. Насправді це також поле, оскільки будь-який ненульовий елемент має мультиплікативну інверсію.

Мультиплікативна інверсія ненульового елемента виду:

# a + bsqrt (2) "" # є # "" a / (a ^ 2-2b ^ 2) -b / (a ^ 2-2b ^ 2) sqrt (2) #.

Тоді будь-яке ненульове раціональне число є одиницею, але не генерує ціле кільце, оскільки породжене ним підгруп буде містити тільки раціональні числа.