Які асимптоти і знімні розриви, якщо такі є, f (x) = (3x ^ 2 + 2x-1) / (x ^ 2-4)?

Відповідь:

Вертикальні асимптоти є # x = 2 # і # x = -2 #

Горизонтальна асимптота є # y = 3 #

Немає косої асимптоти

Пояснення:

Розглянемо чисельник

# 3x ^ 2 + 2x-1 = (3x-1) (x + 1) #

Знаменником є

# x ^ 2-4 = (x + 2) (x-2) #

Тому, #f (x) = ((3x-1) (x + 1)) / ((x + 2) (x-2)) #

Домен #f (x) # є # RR- {2, -2} #

Щоб знайти вертикальні асимптоти, ми обчислимо

#lim_ (x-> 2 ^ -) f (x) = 15 / (0 ^ -) = -oo #

#lim_ (x-> 2 ^ +) f (x) = 15 / (0 ^ +) = + оо #

тому, Вертикальна асимптота є # x = 2 #

#lim_ (x -> - 2 ^ -) f (x) = 7 / (0 ^ +) = + оо #

#lim_ (x -> - 2 ^ +) f (x) = 7 / (0 ^ -) = -oo #

Вертикальна асимптота є # x = -2 #

Для обчислення горизонтальних асимптот ми обчислимо ліміт як #x -> + - oo #

#lim_ (x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (3x ^ 2) / (x ^ 2) = 3 #

#lim_ (x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - оо) (3x ^ 2) / (x ^ 2) = 3 #

Горизонтальна асимптота є # y = 3 #

Немає косої асимптоти, оскільки ступінь чисельника є #=# до ступеня знаменника

граф {(3x ^ 2 + 2x-1) / (x ^ 2-4) -14.24, 14.24, -7.12, 7.12}

Відповідь:

# "вертикальні асимптоти у" x = + - 2 #

# "горизонтальна асимптота в" y = 3 #

Пояснення:

Знаменник f (x) не може бути нульовим, оскільки це зробить f (x) невизначеною. Прирівнювання знаменника до нуля і розв'язування дає значення, яких не може бути x, і якщо чисельник не є нулем для цих значень, то вони є вертикальними асимптотами.

# "вирішити" x ^ 2-4 = 0rArr (x-2) (x + 2) = 0 #

# rArrx = -2 "і" x = 2 "є асимптотами" #

# "горизонтальні асимптоти виникають як" #

#lim_ (xto + -oo), f (x) toc "(константа)" #

розділити умови на чисельник / знаменник на найвищу потужність x, тобто # x ^ 2 #

#f (x) = ((3x ^ 2) / x ^ 2 + (2x) / x ^ 2-1 / x ^ 2) / (x ^ 2 / x ^ 2-4 / x ^ 2) = (3 + 2 / x-1 / x ^ 2) / (1-4 / x ^ 2) #

як # xto + -oo, f (x) до (3 + 0-0) / (1-0) #

# rArry = 3 "є асимптотою" #

# "Немає знімних розривів" #

графік {(3x ^ 2 + 2x-1) / (x ^ 2-4) -10, 10, -5, 5}