Як вирішити ці питання?

Відповідь:

Для рівняння #cos (theta) -sin (theta) = 1 #, рішення є # theta = 2 кпі # і # -pi / 2 + 2kpi # для цілих чисел # k #

Пояснення:

Друге рівняння #cos (theta) -sin (theta) = 1 #.

Розглянемо рівняння #sin (pi / 4) cos (тета) -cos (pi / 4) sin (тета) = sqrt (2) / 2 #. Зверніть увагу, що це еквівалентно попередньому рівнянню, як #sin (pi / 4) = cos (pi / 4) = sqrt (2) / 2 #.

Потім, використовуючи те, що #sin (alphapmbeta) = sin (альфа) cos (beta) pmcos (alpha) sin (бета) #, маємо рівняння:

#sin (pi / 4-theta) = sqrt (2) / 2 #.

Тепер згадайте про це #sin (x) = sqrt (2) / 2 # коли # x = pi / 4 + 2kpi # і # x = (3pi) / 4 + 2 кпі # для цілих чисел # k #.

Таким чином, # pi / 4-theta = pi / 4 + 2kpi #

або

# pi / 4-theta = (3pi) / 4 + 2 кпі #

Нарешті, ми маємо # theta = 2 кпі # і # -pi / 2 + 2kpi # для цілих чисел # k #.

Відповідь:

Для рівняння #tan (theta) -3cot (тета) = 0 #, рішення є # theta = pi / 3 + kpi # або # theta = (2pi) / 3 + kpi # для цілих чисел # k #.

Пояснення:

Розглянемо перше рівняння #tan (theta) -3cot (тета) = 0 #. Ми знаємо це #tan (тета) = 1 / cot (тета) = sin (тета) / cos (тета) #.

Таким чином, #sin (тета) / cos (тета) - (3cos (тета)) / sin (тета) = 0 #.

Потім, # (sin ^ 2 (тета) -3cos ^ 2 (тета)) / (sin (тета) cos (тета)) = 0 #.

Тепер, якщо #sin (theta) cos (тета) # 0 #, ми можемо спокійно помножити обидві сторони на #sin (theta) cos (тета) #. Це залишає рівняння:

# sin ^ 2 (тета) -колір (червоний) (cos ^ 2 (тета)) = 0 #

Тепер використовуйте ідентичність # cos ^ 2 (тета) = колір (червоний) (1-sin ^ 2 (тета)) # у червону частину рівняння вище. Підставляючи це в:

# sin ^ 2 (тета) -3 (колір (червоний) (1-sin ^ 2 (тета))) = 0 #

# 4sin ^ 2 (тета) -3 = 0 #

# sin ^ 2 (тета) = 3/4 #

#sin (theta) = pmsqrt (3) / 2 #

Таким чином, рішення є # theta = pi / 3 + kpi # або # theta = (2pi) / 3 + kpi # для цілих чисел # k #.

(Нагадаємо, що ми вимагали #sin (theta) cos (тета) # 0 #. Жодне з вищенаведених рішень не дало б нам #sin (theta) cos (theta) = 0 #, так що тут добре.)