Що ж означає 3sin (arccos (2)) - cos (arc cos (3)), що дорівнює?

Відповідь:

Проблема нерозв'язна

Пояснення:

Немає дуг, що їх косинус дорівнює 2 і 3.

З аналітичної точки зору # arccos # Функція визначена лише на #-1,1# тому #arccos (2) # & #arccos (3) # не існує.

Відповідь:

Насправді # cos # і # sin # це не має рішень, але, як функції комплексу чисел ми знаходимо:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #

Пояснення:

Як реальні цінні функції реальних значень # x #, функції #cos (x) # і #sin (x) # приймають лише значення в діапазоні #-1, 1#, тому #arccos (2) # і #arccos (3) # не визначені.

Однак можна розширити визначення цих функцій до складних функцій #cos (z) # і #sin (z) # наступним чином:

Починаючи з:

# e ^ (ix) = cos x + i sin x #

#cos (-x) = cos (x) #

#sin (-x) = -sin (x) #

ми можемо вивести:

#cos (x) = (e ^ (ix) + e ^ (- ix)) / 2 #

#sin (x) = (e ^ (ix) -e ^ (- ix)) / (2i) #

Тому можна визначити:

#cos (z) = (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 #

#sin (z) = (e ^ (iz) -e ^ (- iz)) / (2i) #

для будь-якого комплексного числа # z #.

Можна знайти кілька значень # z # що задовольняють #cos (z) = 2 # або #cos (z) = 3 #, отже, може бути зроблено певний вибір для визначення основної вартості #arccos (2) # або #arccos (3) #.

Знайти відповідних кандидатів, вирішити # (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 = 2 #і т.д.

Однак відзначимо, що ідентичність # cos ^ 2 z + sin ^ 2 z = 1 # для будь-якого комплексного числа # z #, так що ми можемо зробити висновок:

#sin (arccos (2)) = + -sqrt (1-2 ^ 2) = + -sqrt (-3) = + -sqrt (3) i #

Сподіваюся, що можна визначити головне значення таким чином #sin (arccos (2)) = sqrt (3) i # а не # -sqrt (3) i #.

У будь-якому випадку, #cos (arccos (3)) = 3 # за визначенням.

Вставляючи все це разом, ми знаходимо:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #