Як знайти квадратичну функцію f (x) = ax² + bx + c задане мінімальне значення -4 при x = 3; один нуль - 6?

Відповідь:

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

Квадратичні функції симетричні відносно вершини, тобто при x = 3 це означає, що інший нуль буде при x = 0.

Відомо, що вершина виникає при x = 3, так що перша похідна функції, оцінена при x = 3, буде дорівнює нулю.

#f '(x) = 2ax + b #

#f '(3) = 6a + b = 0 #

Ми також знаємо значення самої функції при x = 3, #f (3) = 9a + 3b + c = -4 #

Ми маємо два рівняння, але три невідомі, тому нам знадобиться ще одне рівняння. Подивіться на відомий нуль:

#f (6) = 0 = 36a + 6b + c #

Ми маємо систему рівнянь зараз:

# ((6, 1, 0), (9,3,1), (36,6,1)) ((a), (b), (c)) = ((0), (- 4), (0)) #

Для зчитування рішень ми хочемо зменшити матрицю коефіцієнтів до зменшеної форми ешелону з використанням операцій елементарних рядків.

Помножте перший рядок на #1/6#

#((1, 1/6, 0),(9,3,1),(36,6,1))#

Додати #-9# рази першого ряду до другого ряду:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(36,6,1))#

Додати #-36# раз на перший рядок до третього:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(0,0,1))#

Помножте другий рядок на #2/3#

#((1, 1/6, 0),(0,1,2/3),(0,0,1))#

Додати #-2/3# раз на третій рядок до другого ряду:

#((1, 1/6, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

Додати #-1/6# разів другий до першого

#((1, 0, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

Виконання цієї серії операцій до вектора рішення дає:

#((4/9),(-8/3),(0))#

Отже, читання рішень, які ми маємо # a = 4/9 і b = -8 / 3 #

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

графік {4/9 x ^ 2 - 8/3 x -7,205, 12,795, -5,2, 4,8}