Число значень параметра alpha в [0, 2pi], для яких квадратична функція (sin alpha) x ^ 2 + 2 cos alpha x + 1/2 (cos alpha + sin alpha) - квадрат лінійної функції ? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 1

Відповідь:

Дивись нижче.

Пояснення:

Якщо ми знаємо, що вираз повинен бути квадратом лінійної форми, то

# (sin alpha) x ^ 2 + 2 cos alpha x + 1/2 (cos alpha + sin alpha) = (ax + b) ^ 2 #

тоді групуємо коефіцієнти у нас

# (альфа ^ 2-sin (альфа)) x ^ 2 + (2ab-2cos альфа) x + b ^ 2-1 / 2 (синальфа + cosalpha) = 0 #

тому умова

# {(a ^ 2-sin (alpha) = 0), (ab-cos alpha = 0), (b ^ 2-1 / 2 (sinalpha + cosalpha) = 0):} #

Це можна вирішити, отримавши спочатку значення для # a, b # і заміщення.

Ми знаємо це # a ^ 2 + b ^ 2 = sin alpha + 1 / (sin alpha + cos alpha) # і

# a ^ 2b ^ 2 = cos ^ 2 alpha # Зараз вирішується

# z ^ 2- (a ^ 2 + b ^ 2) z + a ^ 2b ^ 2 = 0 #. Вирішення і підстановка # a ^ 2 = sinalpha # ми отримуємо

#a = b = pm 1 / root (4) (2), alpha = pi / 4 #

#a = pm sqrt (2) / root (4) (5), b = pm 1 / (sqrt (2) корінь (4) (5)), alpha = pi-tan ^ -1 (2) #