Покажіть, що рівняння x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 має рівно одне рішення на [0, 1]?

Відповідь:

Дивись нижче.

Пояснення:

Перш за все, обчислимо #f (x) = x ^ 4 + 2x ^ 2-2 # на межі нашого домену:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

Якщо ми обчислимо похідну

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

Ми бачимо, що воно завжди позитивне #0,1#. Насправді, # x ^ 2 + 1 # завжди позитивний, і # 4x # очевидно позитивний, оскільки # x # позитивний.

Отже, наша функція починається нижче # x # вісь, оскільки #f (0) <0 #і закінчується над # x # вісь, оскільки #f (1)> 0 #. Функція є поліномом, і тому вона є безперервною.

Якщо суцільна лінія починається нижче осі і закінчується вище, це означає, що вона повинна була перетнути її десь між ними. І той факт, що похідна завжди позитивна, означає, що функція завжди зростає, і тому вона не може двічі перетинати вісь, отже, доказ.