Як ви оцінюєте [(1 + 3x) ^ (1 / x)], коли х наближається до нескінченності?

Відповідь:

#lim_ (xrarroo) (1 + 3x) ^ (1 / x) = 1 #

Пояснення:

Використовуючи чудовий трюк, який використовує той факт, що експоненціальні та природні функції журналу є зворотними операціями. Це означає, що ми можемо застосувати обидва з них без зміни функції.

#lim_ (xrarroo) (1 + 3x) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) e ^ (ln (1 + 3x) ^ (1 / x)) #

Використовуючи правило експонування журналів, ми можемо придушити потужність перед подачею:

#lim_ (xrarroo) e ^ (1 / xln (1 + 3x)) #

Експоненціальна функція є безперервною, тому можна записати це як

# e ^ (lim_ (xrarroo) 1 / xln (1 + 3x)) #

і тепер просто мати справу з лімітом і не забувати підпорядкувати його назад в експоненціальний.

#lim_ (xrarroo) 1 / xln (1 + 3x) = lim_ (xrarroo) (ln (1 + 3x)) / (x) #

Ця межа має невизначену форму # oo / oo # так що використовуйте L'Hopital's.

#lim_ (xrarroo) (ln (1 + 3x)) / x = lim_ (xrarroo) (d / (dx) (ln (1 + 3x))) / (d / (dx) (x)) = lim_ (xrarroo)) (3 / (1 + 3x)) = 0 #

Отже, межа показника дорівнює 0, тому загальна межа дорівнює # e ^ 0 = 1 #