Які можливі раціональні корені x ^ 5 -12x ^ 4 +2 x ^ 3 -3x ^ 2 + 8x-12 = 0?

Відповідь:

Ця квінтіка не має раціональних коренів.

Пояснення:

#f (x) = x ^ 5-12x ^ 4 + 2x ^ 3-3x ^ 2 + 8x-12 #

За раціональної кореневої теореми, будь-які нулі #f (x) # виражаються у формі # p / q # для цілих чисел #p, q # с # p # дільник постійного терміну #-12# і # q # дільник коефіцієнта #1# провідного терміну.

Це означає, що єдино можливим раціональне нулі:

#+-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-12#

Зверніть увагу на це #f (-x) = -x ^ 5-12x ^ 4-2x ^ 3-3x ^ 2-8x-12 # має всі негативні коефіцієнти. Звідси #f (x) # не має від'ємних нулів.

Так що єдино можливе раціональне нулі:

#1, 2, 3, 4, 6, 12#

Оцінювання #f (x) # для кожного з цих значень ми знаходимо, що жоден не є нулем. Тому #f (x) # не має раціональне нулі.

Як і більшість квінтік і поліномів вищого ступеня, нулі не виражаються в термінах # n #коріння або елементарні функції, включаючи тригонометричні функції.

Для пошуку наближень можна використовувати числові методи, такі як Durand-Kerner:

# x_1 ~~ 11.8484 #

#x_ (2,3) ~~ -0.640414 + -0.877123i #

#x_ (4,5) ~~ 0.716229 + -0.587964i #