Які асимптоти і змінні розриви, якщо такі є, f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1)?

Відповідь:

#f (x) # має горизонтальну асимптоту # y = 0 # вертикальну асимптоту # x = 0 #

Пояснення:

Дано:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1) #

• Домен чисельника #sqrt (x) # є # 0, oo) #

• Домен знаменника # e ^ x - 1 # є # (- oo, oo) #

• Знаменник дорівнює нулю, коли # e ^ x = 1 #, що для реальних значень # x # відбувається лише тоді, коли # x = 0 #

Звідси і область #f (x) # є # (0, oo) #

Використовуючи розширення серії # e ^ x #, ми маємо:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x - 1) #

#color (білий) (f (x)) = sqrt (x) / ((1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) - 1) #

#color (білий) (f (x)) = sqrt (x) / (x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) #

#color (білий) (f (x)) = 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …) #

Тому:

#lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) #

#color (білий) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + 0 + 0 + …)) #

#color (білий) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x)) #

#color (білий) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = + oo #

і:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) = 0 #

Тому #f (x) # має вертикальну асимптоту # x = 0 # і горизонтальну асимптоту # y = 0 #

graph {sqrt (x) / (e ^ x-1) -6,1, 13,9, -2,92, 7,08}