Доведіть, що фіолетова затінена область дорівнює площі вписаної в рівносторонній трикутник (жовтий смугастий коло)?

Відповідь:

Пояснення:

Площа вписаного кола # pir ^ 2 #.

Відзначаючи правий трикутник з гіпотенузою # R # і ногу # r # в основі рівностороннього трикутника, через тригонометрію або властивості #30 -60 -90 # Праві трикутники ми можемо встановити зв'язок, що # R = 2r #.

Зауважимо, що кут протилежний # r # є #30 # з рівностороннього трикутника #60 # кут розсічений.

Цей самий трикутник можна вирішити за допомогою теореми Піфагора, щоб показати, що половина довжини сторони рівностороннього трикутника #sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4r ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 #.

Тепер розглядаючи половину рівностороннього трикутника як правий трикутник, ми бачимо, що висота # h # рівностороннього трикутника можна вирішити з точки зору # r # використання відносин #tan (60) = h / (rsqrt3) #. З #tan (60) = sqrt3 #, це стає # h / (rsqrt3) = sqrt3 # тому # h = 3r #.

Тоді область рівностороннього трикутника # 1 / 2bh #і його основа # 2rsqrt3 # і його висота # 3r #. Таким чином, його площа є # 1/2 (2rsqrt3) (3r) = 3r ^ 2sqrt3 #.

Площа меншої зафарбованої області дорівнює одній третині площі рівностороннього трикутника мінус вписана, або # 1/3 (3р ^ 2sqrt3-pir ^ 2) # що еквівалентно # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) #.

Площа більшого кола # piR ^ 2 = pi (2r) ^ 2 = 4pir ^ 2 #.

Площа більшої зафарбованої області становить третину площі більшого кола, за вирахуванням площі рівностороннього трикутника, або # 1/3 (4pir ^ 2-3r ^ 2sqrt3) # що спрощується # r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) #.

Тоді загальна площа затіненої області # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) + r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) = r ^ 2 ((3sqrt3-3sqrt3-pi + 4pi) / 3) = r ^ 2 ((3pi) / 3) = pir ^ 2 #, що еквівалентно площі вписаного в область.

Відповідь:

Пояснення:

Для рівностороннього трикутника центр ваги, центр кола і ортоцентр збігаються.

Отже, Радіус cicumcircle (R) і радіус вписаного (r) буде мати наступне співвідношення

#R: r = 2: 1 => R = 2r #

Тепер з фігури очевидно, що область BIG фіолетового затіненого регіону# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) #

І область невеликого фіолетового затіненого регіону# = 1/3 (Delta-pir ^ 2) #

де #Delta # являє собою площу рівностороннього трикутника.

Тому

#color (фіолетовий) ("ВСЬОГО область BIG і SMALL фіолетового затіненого регіону" #

# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) +1/3 (Delta-pir ^ 2) #

# = 1/3 (piR ^ 2-cancelDelta + cancelDelta-pir ^ 2) #

Вставка R = 2r

# = 1/3 (pi (2r) ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1/3 (4pir ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2-> колір (помаранчевий) "Площа жовтого смугастого кола" #